प्राचल क्या है?
x² = 9 में संख्या 9 तय है। x² = a में अक्षर a एक प्राचल है: एक निश्चित संख्या जिसे हमने अभी चुना नहीं। जिसे हल करते हैं वह अज्ञात अब भी x है।
इसलिए उत्तर एक संख्या नहीं होता। उत्तर बताता है कि हल a पर कैसे निर्भर हैं। जैसे: "a < 0 पर कोई हल नहीं; a = 0 पर एक; a > 0 पर दो"।
ग्राफ़ विधि: रेखा y = a खिसकाइए
ग्राफ़ विधि चार चालों में:
- सब कुछ इधर-उधर करके समीकरण f(x) = a बनाइए (a अकेला एक ओर)।
- वक्र y = f(x) एक बार खींचिए। यह a पर निर्भर नहीं।
- क्षैतिज रेखा y = a खींचिए। a बदलने से यह ऊपर-नीचे खिसकती है।
- हर स्थिति में कटान बिंदु गिनिए। a के वे अंतराल लिखिए जहाँ गिनती वही रहती है और वे विशेष मान जहाँ बदलती है।
उदाहरण: |x² − 4| = a। वक्र W जैसा है, निचले बिंदु (−2, 0), (2, 0) और चोटी (0, 4)।
- a < 0: 0 हल
- a = 0: 2 हल (x = ±2)
- 0 < a < 4: 4 हल
- a = 4: 3 हल
- a > 4: 2 हल
जब a सूत्र के अंदर हो: विविक्तकर
x² − 4x + a = 0 में मूलों की संख्या विविक्तकर D = b² − 4ac = 16 − 4a पर निर्भर है।
- D > 0, यानी a < 4: दो मूल।
- D = 0, यानी a = 4: एक मूल।
- D < 0, यानी a > 4: कोई वास्तविक मूल नहीं।
"हर x के लिए x² + 2ax + 4 > 0" के लिए कोई मूल न हो और परवलय अक्ष के ऊपर हो: D = 4a² − 16 < 0, यानी −2 < a < 2।
इसे बनाकर भी देख सकते हैं: x² − 4x = −a में परवलय का निम्नतम बिंदु −4 है और रेखा −a की ऊँचाई पर।
असमिकाएँ और स्थितियाँ
ax > 2 में a का चिह्न उत्तर तय करता है, इसलिए स्थितियों में बाँटिए:
- a > 0: भाग दीजिए, चिह्न वही: x > 2/a।
- a < 0: भाग दीजिए, चिह्न पलटिए: x < 2/a।
- a = 0: यह 0 > 2 बनता है, असत्य: कोई हल नहीं।
a = 0 पर और जो विशेष मान मिले उन पर क्या होता है, यह हमेशा लिखिए। पूरा उत्तर हर स्थिति गिनाता है।
करके देखिए: पहले अनुमान, फिर जाँच
3D बोर्ड पर |x − 1| + |x + 1| = a खोलिए। स्लाइडर चलाने से पहले अनुमान लगाइए कि a = 1 पर कितने हल हैं। फिर a = 1 पर ले जाकर पढ़िए। a = 2 और a = 3 भी आज़माइए। घर पर: कटोरे में पानी भरिए और पानी की सतह को दीवार छूते देखिए। गहरा कटोरा दो जगह छूता है; चपटी तली वाला कटोरा पूरी रेखा पर छू सकता है। यही चित्र है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f(x) = a: solutions = meeting points of y = f(x) and y = a
- D = b² − 4ac: D > 0 two roots, D = 0 one root, D < 0 none
- x² + bx + c > 0 for all x ⇔ D < 0
- ax > c: a > 0 → x > c/a; a < 0 → x < c/a; a = 0 → check 0 > c
हल किए गए उदाहरण
1. x² = a के कितने हल हैं?
y = x² और रेखा y = a खींचिए। a < 0 पर रेखा वक्र के नीचे: 0 हल। a = 0 पर तली को छूती है: 1 हल। a > 0 पर दो बार काटती है: 2 हल (x = ±√a)।
2. a के किन मानों के लिए x² − 4x + a = 0 के दो अलग मूल हैं?
D = (−4)² − 4·1·a = 16 − 4a। दो अलग मूलों के लिए D > 0, यानी 16 − 4a > 0, यानी a < 4।
3. |x| = a की चर्चा कीजिए।
वक्र y = |x| एक V है जिसका शीर्ष (0, 0) है। a < 0: कोई नहीं। a = 0: एक (x = 0)। a > 0: दो (x = ±a)।
4. a = 2 पर |x² − 4| = a के कितने हल हैं?
x² − 4 = 2 से x² = 6, x = ±√6। x² − 4 = −2 से x² = 2, x = ±√2। चार अलग हल।
5. हर a के लिए x² − 2x = a के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।
x² − 2x = (x − 1)² − 1, निम्नतम बिंदु (1, −1) वाला परवलय। a < −1: कोई नहीं। a = −1: एक (x = 1)। a > −1: दो।
6. a के सभी मानों के लिए ax > 2 हल कीजिए।
a > 0: x > 2/a। a < 0: a से भाग देने पर चिह्न पलटता है, x < 2/a। a = 0: 0 > 2 असत्य है, इसलिए कोई हल नहीं।
7. a के किन मानों के लिए हर x पर x² + 2ax + 4 > 0 है?
परवलय ऊपर की ओर खुलता है। यह अक्ष के ऊपर तभी रहेगा जब कोई वास्तविक मूल न हो: D = (2a)² − 4·4 = 4a² − 16 < 0, यानी a² < 4, यानी −2 < a < 2।
8. a के किन मानों के लिए |x − 1| + |x + 1| = a के ठीक दो हल हैं?
वक्र x = −1 से 1 के बीच ऊँचाई 2 पर समतल है, फिर दोनों ओर ढलान 2 से चढ़ता है। a < 2: कोई नहीं। a = 2: अनंत। a > 2: दो हल x = ±a/2। इसलिए a > 2।
आम गलतियाँ
- उत्तर में एक ही संख्या देना। प्राचल के सवाल में उत्तर a की स्थितियों की सूची होता है।
- विशेष मान भूल जाना, जैसे वह a जहाँ रेखा वक्र को सिर्फ़ एक बार छूती है।
- a = 0 और a का चिह्न जाँचे बिना a से भाग दे देना।
- स्पर्श बिंदु को दो बार गिनना। स्पर्श एक हल है (दोहरा मूल), दो नहीं।