आवर्तता
फलन f आवर्ती है यदि कोई संख्या T > 0 ऐसी हो कि हर x के लिए f(x + T) = f(x)। ऐसा सबसे छोटा T आवर्तकाल है। ग्राफ़ एक टुकड़ा है जो बार-बार दोहराता है।
- sin x और cos x: आवर्तकाल 2π।
- tan x: आवर्तकाल π।
- sin(wx): आवर्तकाल 2π ÷ w। इसलिए sin(2x) का आवर्तकाल π है।
- |sin x|: आवर्तकाल π (पलटे हुए भाग इसे दुगनी बार दोहराते हैं)।
x² जैसा फलन आवर्ती नहीं है: उसके मान बढ़ते जाते हैं, दोहराते नहीं।
यदि f का आवर्तकाल T है तो सिर्फ़ एक आवर्त का अध्ययन करके उसकी नक़ल कर लीजिए।
एकदिष्टता: वर्धमान और ह्रासमान
कोई फलन किसी अंतराल पर वर्धमान है यदि x बढ़ने पर ग्राफ़ ऊपर जाए, और ह्रासमान यदि नीचे जाए। दोनों को मिलाकर एकदिष्ट (सिर्फ़ एक दिशा) कहते हैं।
ढलान यह बताती है। किसी बिंदु पर वक्र की ढलान को f′(x) (अवकलज) लिखते हैं।
- अंतराल पर f′(x) > 0: वहाँ वर्धमान।
- अंतराल पर f′(x) < 0: वहाँ ह्रासमान।
उदाहरण: f(x) = x³ − 3x, f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)। यह x < −1 और x > 1 के लिए धनात्मक (वर्धमान) और −1 < x < 1 के लिए ऋणात्मक (ह्रासमान) है।
चरम मान: मोड़ बिंदु
स्थानीय अधिकतम पहाड़ी की चोटी है: फलन ऊपर जाता है, फिर नीचे। स्थानीय न्यूनतम घाटी की तली है: नीचे, फिर ऊपर। दोनों को मिलाकर चरम मान कहते हैं।
ऐसे बिंदु पर स्पर्श रेखा समतल होती है, इसलिए f′(x) = 0। इन्हें ऐसे खोजिए:
- f′(x) = 0 हल कीजिए। ये उम्मीदवार (क्रांतिक बिंदु) हैं।
- ठीक पहले और ठीक बाद f′ का चिह्न देखिए। धन फिर ऋण: अधिकतम। ऋण फिर धन: न्यूनतम। बदलाव नहीं: कुछ नहीं (जैसे 0 पर x³)।
x³ − 3x के लिए: x = ±1 पर f′ = 0। x = −1 पर ढलान + से − हुई: स्थानीय अधिकतम, मान 2। x = 1 पर − से +: स्थानीय न्यूनतम, मान −2।
अंतराल [a, b] पर अधिकतम और न्यूनतम
बंद अंतराल [a, b] पर चिकने फलन का एक सबसे बड़ा और एक सबसे छोटा मान होता है। वे अंदर के मोड़ बिंदु पर या किसी सिरे पर हो सकते हैं। इसलिए:
- [a, b] के अंदर के मोड़ बिंदु (f′ = 0) खोजिए। बाहर वालों को छोड़ दीजिए।
- उन बिंदुओं पर और a, b पर f का मान निकालिए।
- सबसे बड़ी संख्या अधिकतम है, सबसे छोटी न्यूनतम।
[−2, 1.5] पर f = x³ − 3x के लिए: f(−2) = −2, f(−1) = 2, f(1) = −2, f(1.5) = −1.125। अधिकतम 2 (x = −1 पर); न्यूनतम −2 (x = −2 और x = 1 पर)।
स्थानीय अधिकतम हमेशा अंतराल का सबसे बड़ा नहीं होता: कोई सिरा बड़ा हो सकता है।
करके देखिए: पहले अनुमान, फिर जाँच
3D बोर्ड पर "अंतराल [a, b] पर अधिकतम-न्यूनतम" चुनिए। अनुमान लगाइए: यदि a = −1.5 और b = 2 हो तो अधिकतम कहाँ है? a और b चलाकर जाँचिए। घर पर: एक छोटी गेंद (धीरे से!) ऊपर उछालिए और देखिए: वह उठती है, चोटी पर क्षण भर रुकती है (ढलान 0) और गिरती है। चोटी मोड़ बिंदु है। या लय में ताली बजाइए: दो तालियों के बीच का समय आवर्तकाल है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- Periodic: f(x + T) = f(x) for all x
- sin(wx), cos(wx): T = 2π / w; tan(wx): T = π / w
- f′(x) > 0 → increasing; f′(x) < 0 → decreasing
- Turning point: f′(x) = 0 and the sign of f′ changes
- Max/min on [a, b]: compare f(a), f(b) and f at turning points inside
हल किए गए उदाहरण
1. y = sin(3x) का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।
T = 2π ÷ w = 2π ÷ 3 = 2π/3।
2. y = cos(x/2) का आवर्तकाल ज्ञात कीजिए।
यहाँ w = 1/2, इसलिए T = 2π ÷ (1/2) = 4π। तरंग खिंची हुई है, इसलिए धीरे दोहराती है।
3. क्या f(x) = x² आवर्ती है?
नहीं। यदि सभी x के लिए f(x + T) = f(x) हो तो x = 0 पर: T² = 0, यानी T = 0, पर आवर्तकाल 0 से बड़ा होना चाहिए। इसलिए x² आवर्ती नहीं। ग्राफ़ ऐसा कटोरा है जो दोहराता नहीं।
4. f(x) = x² − 4x कहाँ वर्धमान और कहाँ ह्रासमान है?
f′(x) = 2x − 4। यह x = 2 पर 0 है। x < 2 के लिए f′ < 0: ह्रासमान। x > 2 के लिए f′ > 0: वर्धमान। इसलिए x = 2 न्यूनतम है, f(2) = −4।
5. f(x) = x³ − 3x का स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए।
f′ = 3x² − 3 = 0 से x = ±1। x = −1 पर ढलान + से −: स्थानीय अधिकतम, f(−1) = −1 + 3 = 2। x = 1 पर − से +: स्थानीय न्यूनतम, f(1) = 1 − 3 = −2।
6. [−2, 1.5] पर f(x) = x³ − 3x का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए।
मोड़ बिंदु ±1 दोनों अंदर हैं। f(−2) = −8 + 6 = −2। f(−1) = 2। f(1) = −2। f(1.5) = 3.375 − 4.5 = −1.125। सबसे बड़ा 2 (x = −1 पर), सबसे छोटा −2 (x = −2 और x = 1 पर)।
7. [0, 5] पर f(x) = x² − 4x + 1 का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए।
f′ = 2x − 4 = 0 से x = 2 (अंदर)। f(2) = 4 − 8 + 1 = −3। f(0) = 1। f(5) = 25 − 20 + 1 = 6। अधिकतम 6 (x = 5 पर, सिरा), न्यूनतम −3 (x = 2 पर)।
8. [1, 4] पर f(x) = x + 1/x का अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए।
f′ = 1 − 1/x²। x > 1 के लिए 1/x² < 1, इसलिए f′ > 0: पूरे अंतराल पर वर्धमान। अंदर कोई मोड़ बिंदु नहीं (x = 1 सिरा है)। न्यूनतम f(1) = 2, अधिकतम f(4) = 4 + 0.25 = 4.25।
आम गलतियाँ
- एक-दो बार दोहराते देखकर फलन को आवर्ती कह देना। दोहराव हर x के लिए सही होना चाहिए।
- sin(wx) का ग़लत आवर्तकाल लेना। यह 2π ÷ w है, 2π × w नहीं।
- यह सोचना कि f′ = 0 वाला हर बिंदु अधिकतम या न्यूनतम है। 0 पर x³ क्षण भर समतल है पर चढ़ता रहता है।
- अंतराल के दोनों सिरे जाँचना भूल जाना। सबसे बड़ा या छोटा मान अक्सर किसी सिरे पर होता है।