शीर्ष पर अधिकतम और न्यूनतम
फलन को शीर्ष रूप में लिखिए: y = a(x − p)² + q। शीर्ष (p, q) है। वर्ग (x − p)² कभी ऋणात्मक नहीं होता।
- a > 0 हो: सबसे छोटा मान q है, x = p पर। यह न्यूनतम है। अधिकतम नहीं है (वक्र ऊपर बढ़ता ही जाता है)।
- a < 0 हो: सबसे बड़ा मान q है, x = p पर। यह अधिकतम है। न्यूनतम नहीं है।
मानक रूप y = ax² + bx + c में शीर्ष x = −b ÷ 2a पर होता है। इस x को फलन में रखकर मान निकालिए।
सीमित प्रांत पर अधिकतम और न्यूनतम
अक्सर x केवल p ≤ x ≤ q में लिया जाता है (यह प्रांत है)। तब उत्तर बदल सकता है, क्योंकि शीर्ष प्रांत के बाहर हो सकता है। यह तरीक़ा अपनाइए:
- शीर्ष का x निकालिए, x = −b ÷ 2a।
- जाँचिए: क्या यह दोनों सिरों के बीच है?
- दोनों सिरों पर f निकालिए। शीर्ष पर f तभी निकालिए जब वह अंदर हो।
- इनमें सबसे बड़ा मान अधिकतम है और सबसे छोटा न्यूनतम।
शीर्ष बाहर हो तो प्रांत के अंदर वक्र केवल चढ़ता या केवल उतरता है, इसलिए चरम मान सिरों पर होते हैं। शीर्ष अंदर हो तो वह न्यूनतम (a > 0) या अधिकतम (a < 0) देता है, और दूसरा चरम मान किसी सिरे पर होता है।
व्यावहारिक सवाल: क्षेत्रफल, मुनाफ़ा और ऊँचाई
शब्द-सवाल हल करने के चरण:
- अज्ञात को x मानिए और देखिए कि कौन-से मान संभव हैं (जैसे लंबाई के लिए 0 < x < 10)।
- जिसे सबसे बड़ा या छोटा करना है, उसे x के द्विघात के रूप में लिखिए।
- शीर्ष निकालिए और जाँचिए कि वह संभव सीमा में है।
- इकाई के साथ शब्दों में उत्तर लिखिए।
बाड़ की समस्या। 20 m लंबी रस्सी से आयत बनता है, भुजाएँ x और 10 − x। क्षेत्रफल A = x(10 − x) = −x² + 10x। शीर्ष x = 5 पर, A = 25 m²। समान परिमाप वाले आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।
ऊँचाई की समस्या। गेंद ऐसे फेंकी गई कि h = 20t − 5t² (h मीटर में, t सेकंड में)। शीर्ष t = 2 s पर, h = 20 m। यही सबसे ऊँचा बिंदु है।
करके देखिए
20 cm की एक डोरी लीजिए। उससे भुजाओं 1 और 9, फिर 3 और 7, फिर 5 और 5 वाले आयत बनाइए और ग्राफ़ पेपर पर हर का क्षेत्रफल नापिए। क्षेत्रफल एक पंक्ति में लिखिए। वे पहले बढ़ेंगे फिर घटेंगे, और वर्ग सबसे ऊपर होगा। अब 3D में पट्टी खिसकाकर देखिए कि कौन-से सिरे अधिकतम और न्यूनतम देते हैं।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = a(x − p)² + q: शीर्ष (p, q)
- y = ax² + bx + c का शीर्ष: x = −b / 2a
- a > 0: x = p पर न्यूनतम q; a < 0: x = p पर अधिकतम q
- p ≤ x ≤ q पर: f(p), f(q) और (शीर्ष अंदर हो तो) f(शीर्ष) की तुलना कीजिए
- परिमाप 2s वाला आयत: क्षेत्रफल x(s − x), अधिकतम s²/4, x = s/2 पर
हल किए गए उदाहरण
1. y = x² − 6x + 5 का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
शीर्ष x = −(−6)/(2·1) = 3। y = 9 − 18 + 5 = −4। a = 1 > 0, इसलिए x = 3 पर न्यूनतम मान −4।
2. y = −2x² + 8x + 1 का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।
शीर्ष x = −8/(2·(−2)) = 2। y = −8 + 16 + 1 = 9। a < 0, इसलिए x = 2 पर अधिकतम मान 9।
3. 0 ≤ x ≤ 1 के लिए y = x² − 4x + 1 का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
शीर्ष x = 2, [0, 1] के बाहर है। इसलिए सिरे देखिए: f(0) = 1, f(1) = 1 − 4 + 1 = −2। x = 0 पर अधिकतम 1, x = 1 पर न्यूनतम −2।
4. 1 ≤ x ≤ 5 के लिए y = x² − 4x + 1 का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
शीर्ष x = 2 अंदर है। f(2) = −3। सिरे: f(1) = −2, f(5) = 25 − 20 + 1 = 6। x = 5 पर अधिकतम 6, x = 2 पर न्यूनतम −3।
5. 2 ≤ x ≤ 4 के लिए y = −x² + 2x का अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
शीर्ष x = 1, [2, 4] के बाहर है। f(2) = −4 + 4 = 0, f(4) = −16 + 8 = −8। x = 2 पर अधिकतम 0, x = 4 पर न्यूनतम −8।
6. एक आयत का परिमाप 40 m है। उसका सबसे बड़ा संभव क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
दोनों भुजाएँ x और 20 − x। A = x(20 − x) = −x² + 20x। शीर्ष x = 10, इसलिए A = 100 m²। सबसे अच्छा आयत 10 m × 10 m का वर्ग है।
7. गेंद ऊपर फेंकी गई, t सेकंड बाद ऊँचाई h = 20t − 5t² मीटर है। सबसे ऊँचा बिंदु ज्ञात कीजिए।
शीर्ष t = −20/(2·(−5)) = 2 s। h = 40 − 20 = 20 m। गेंद 2 s बाद 20 m तक पहुँचती है।
आम गलतियाँ
- प्रांत जाँचना भूल जाना। 0 ≤ x ≤ 1 पर शीर्ष x = 2 बाहर है, इसलिए उसका उपयोग नहीं करना है।
- सवाल अधिकतम मान (यानी y) माँगे और x लिख देना, या उलटा।
- यह कहना कि a > 0 वाले परवलय का अधिकतम होता है। सभी वास्तविक x पर उसका केवल न्यूनतम होता है।
- x = −b/2a में चिह्न की ग़लती, जैसे −b की जगह b लेना।