इष्टतमीकरण क्या है?
इष्टतमीकरण का मतलब है सबसे अच्छा उत्तर खोजना। सबसे अच्छा यानी अधिकतम (सबसे बड़ा) या न्यूनतम (सबसे छोटा)।
- तय बाड़ से सबसे बड़ा क्षेत्रफल।
- दुकान का सबसे ज़्यादा लाभ।
- सबसे कम खर्च या सबसे कम समय।
जब मात्रा द्विघात फलन हो, तो उसका ग्राफ़ परवलय होता है। परवलय में एक ही मोड़ बिंदु होता है: शीर्ष। वही सबसे अच्छा मान देता है।
स्थिति को द्विघात फलन से मॉडल करना
मॉडल बनाना यानी प्रश्न को सूत्र में लिखना।
- जो चीज़ बदल सकती है, उसके लिए अक्षर चुनो (जैसे x)।
- बाक़ी लंबाइयाँ या मात्राएँ x में लिखो।
- जिस मात्रा को सबसे अच्छा बनाना है, उसे x का फलन लिखो।
- x के मान्य मान (प्रांत) लिखो। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।
उदाहरण: बाड़ 20 m, चौड़ाई x, तो लंबाई = 10 − x और क्षेत्रफल A(x) = x(10 − x) = −x² + 10x, जहाँ 0 < x < 10।
शीर्ष से सबसे अच्छा मान निकालना
f(x) = ax² + bx + c के लिए:
- शीर्ष x = −b / (2a) पर है।
- यह x फलन में रखो, सबसे अच्छा मान मिल जाएगा।
- a < 0 हो तो परवलय नीचे खुलता है, शीर्ष अधिकतम है।
- a > 0 हो तो ऊपर खुलता है, शीर्ष न्यूनतम है।
वर्ग पूरा करके भी लिख सकते हो: f(x) = a(x − p)² + q, शीर्ष (p, q)।
जब शीर्ष प्रांत से बाहर हो
अगर शीर्ष वाला x मान्य नहीं है, तो सबसे अच्छा मान प्रांत के किसी सिरे पर होगा। सिरों की जाँच ज़रूर करो।
अर्थशास्त्र में इष्टतमीकरण: अधिकतम लाभ
व्यापार में यह रोज़ काम आता है।
- आय (revenue) R = दाम × बिकी मात्रा।
- लाभ P = आय − लागत।
दाम बढ़ने पर बिक्री घटती है, इसलिए आय अक्सर a < 0 वाला द्विघात बन जाती है। शीर्ष वह दाम या मात्रा बताता है जिस पर अधिकतम लाभ होता है।
ऊँची कक्षाओं में यही बिंदु कलन (calculus) से मिलता है: शिखर पर ढाल (अवकलज) शून्य होता है।
करके देखो: धागे का आयत
40 cm का धागा लो और सिरे बाँध दो। ख़ानेदार कागज़ पर 4, 8, 10, 12 और 16 cm चौड़ाई वाले आयत बनाओ। हर एक के अंदर ख़ाने गिनो। किसमें सबसे ज़्यादा? अब शीर्ष सूत्र से अनुमान लगाओ और 3D के स्लाइडर से जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- शीर्ष: x = −b / (2a)
- सबसे अच्छा मान: f(−b/2a)
- शीर्ष रूप: f(x) = a(x − p)² + q, शीर्ष (p, q)
- a < 0 → अधिकतम, a > 0 → न्यूनतम
- लाभ = आय − लागत
- आय = दाम × मात्रा
हल किए गए उदाहरण
1. f(x) = −x² + 6x + 1 का अधिकतम मान ज्ञात करो।
a = −1, b = 6। x = −6/(2 × −1) = 3। f(3) = −9 + 18 + 1 = 10। a < 0 है, इसलिए x = 3 पर अधिकतम मान 10।
2. g(x) = 2x² − 8x + 5 का न्यूनतम मान ज्ञात करो।
x = 8/(2 × 2) = 2। g(2) = 8 − 16 + 5 = −3। a > 0 है, इसलिए न्यूनतम मान −3।
3. 20 m बाड़ से आयत बनाना है। सबसे बड़ा क्षेत्रफल कितना होगा?
चौड़ाई x, लंबाई 10 − x। A = −x² + 10x। शीर्ष x = 5। A = 25 m²। सबसे अच्छा आकार 5 m × 5 m का वर्ग।
4. एक दीवार बाड़े की एक भुजा है। बाक़ी तीन भुजाओं के लिए 40 m बाड़ है। अधिकतम क्षेत्रफल?
दीवार से लगी दो भुजाएँ x, सामने वाली 40 − 2x। A = −2x² + 40x। x = 10। A = 10 × 20 = 200 m²।
5. लाभ P(q) = −q² + 20q − 36 (हज़ार रुपये), q सैकड़ों में वस्तुएँ। सबसे अच्छा q और अधिकतम लाभ?
q = −20/(−2) = 10, यानी 1000 वस्तुएँ। P(10) = −100 + 200 − 36 = 64 हज़ार रुपये।
6. टिकट 10 € का है और 300 लोग आते हैं। हर 1 € बढ़ाने पर 20 लोग कम होते हैं। अधिकतम आय के लिए दाम?
n बार 1 € बढ़ाओ। दाम 10 + n, लोग 300 − 20n। R = −20n² + 100n + 3000। n = 2.5। दाम 12.50 €, लोग 250, आय 3125 €।
आम गलतियाँ
- x = b/(2a) लिखना और ऋण चिह्न भूल जाना।
- जब अधिकतम मान f(x) पूछा हो तब सिर्फ़ x बता देना।
- हर शीर्ष को अधिकतम मान लेना: a का चिह्न देखो।
- प्रांत भूल जाना: लंबाई और मात्रा ऋणात्मक नहीं हो सकतीं, और शीर्ष मान्य सीमा से बाहर हो सकता है।