व्युत्क्रम विचरण क्या है?
दो राशियाँ व्युत्क्रम रूप से बदलती हैं जब एक बढ़े और दूसरी इस तरह घटे कि उनका गुणनफल (गुणा करने पर जो आए) वही रहे।
x × y = k, या y = k / x। यहाँ k एक पक्की संख्या है जिसे विचरण का अचर (constant of variation) कहते हैं। k कभी 0 नहीं होता।
इसे "y, x के व्युत्क्रमानुपाती है" भी कहते हैं: y ∝ 1/x।
जाँचो: x दोगुना → y आधा। x तिगुना → y एक-तिहाई। हर "एक ऊपर, एक नीचे" वाली जोड़ी व्युत्क्रम नहीं होती! y = 10 − x में y घटता है, पर x × y पक्का नहीं, इसलिए यह व्युत्क्रम विचरण नहीं।
k कैसे निकालें और कैसे इस्तेमाल करें
- लिखो y = k / x (या xy = k)।
- एक ज्ञात जोड़ी रखकर k निकालो: k = x × y।
- उस k के साथ नियम लिखो।
- नया x (या y) रखकर बाकी मान निकालो।
दो जोड़ियों का छोटा तरीका: x₁ × y₁ = x₂ × y₂।
सारणी की जाँच: हर जोड़ी का गुणा करो। सब गुणनफल बराबर, तो व्युत्क्रम विचरण।
y = k/x का ग्राफ़
ग्राफ़ एक अतिपरवलय है: दो चिकनी मुड़ी शाखाएँ।
- k > 0 हो तो शाखाएँ पहले और तीसरे चतुर्थांश में। k < 0 हो तो दूसरे और चौथे में।
- वक्र कभी x-अक्ष या y-अक्ष को नहीं छूता। ये अक्ष उसकी अनंतस्पर्शी (asymptote) हैं — ऐसी रेखा जिसके वक्र हमेशा पास आता रहता है।
- x = 0 नहीं हो सकता (0 से भाग नहीं होता), और y कभी 0 नहीं होता।
- k > 0 के लिए x बढ़े तो y घटता है (हर शाखा में)।
- ग्राफ़ रेखा y = x और y = −x के सापेक्ष सममित है।
- बड़ा k वक्र को मूल बिंदु से दूर धकेलता है।
y = x² और y = √x से तुलना
y = x² U आकार का परवलय है; y = √x (0, 0) से शुरू होकर धीरे-धीरे ऊपर जाता है (केवल x ≥ 0)। धनात्मक x पर दोनों बढ़ते हैं। y = k/x घटता है। अनुक्रम विचरण y = kx मूल बिंदु से जाती सीधी रेखा है।
असली सवाल
पूछो: "एक राशि दोगुनी करूँ तो क्या दूसरी आधी होती है?" आम व्युत्क्रम जोड़ियाँ:
- तय दूरी के लिए चाल और समय
- तय काम के लिए मज़दूर और दिन (सबकी काम की रफ़्तार बराबर)
- तय रकम में लोग और हर एक का हिस्सा
- स्थिर ताप पर गैस का दाब और आयतन (बॉयल का नियम)
- टंकी भरने वाले नल और समय
हमेशा इकाइयाँ जाँचो और देखो कि पक्की चीज़ सच में पक्की रहे।
करके देखो
24 सिक्के, बटन या ब्लॉक लो। आयत बनाओ: 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6। चौड़ाई और ऊँचाई सारणी में लिखो और गुणा करो। फिर जोड़ियों को ग्राफ़ पेपर पर लगाकर चिकने वक्र से जोड़ो। चौड़ाई 5 की ऊँचाई पहले अनुमान लगाओ (24 ÷ 5 = 4.8, पूरी संख्या नहीं!)। फ्री-प्ले स्टेप में जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- xy = k
- y = k / x (x ≠ 0)
- y ∝ 1/x
- x₁y₁ = x₂y₂
- अनुक्रम: y = kx; व्युत्क्रम: y = k/x
हल किए गए उदाहरण
1. y, x के व्युत्क्रमानुपाती है और x = 4 पर y = 6। x = 8 पर y निकालो।
चरण 1: k = xy = 4 × 6 = 24। चरण 2: y = 24/x। चरण 3: y = 24/8 = 3।
2. क्या यह सारणी व्युत्क्रम विचरण है? x: 2, 3, 5; y: 15, 10, 6।
गुणनफल: 2 × 15 = 30, 3 × 10 = 30, 5 × 6 = 30। सब बराबर, तो हाँ, k = 30 और y = 30/x।
3. कार 60 km/h पर 3 घंटे लेती है। उसी यात्रा में 90 km/h पर कितना समय?
चाल × समय = 60 × 3 = 180 (दूरी)। समय = 180 ÷ 90 = 2 घंटे।
4. 8 मज़दूर दीवार 15 दिन में बनाते हैं। 12 मज़दूर कितने दिन में?
मज़दूर × दिन = 8 × 15 = 120। दिन = 120 ÷ 12 = 10 दिन।
5. y ∝ 1/x और x = 2 पर y = −5। नियम लिखो और बताओ ग्राफ़ किन चतुर्थांशों में है।
k = 2 × (−5) = −10, तो y = −10/x। k < 0, इसलिए शाखाएँ दूसरे और चौथे चतुर्थांश में।
6. गैस का आयतन 6 L होने पर दाब 100 kPa है। ताप वही रहे। 4 L पर दाब निकालो।
P₁V₁ = P₂V₂: 100 × 6 = P₂ × 4, तो P₂ = 600 ÷ 4 = 150 kPa।
आम गलतियाँ
- k निकालने के लिए गुणा की जगह भाग करना। व्युत्क्रम में k = x × y, y ÷ x नहीं।
- हर "एक बढ़े, एक घटे" जोड़ी को व्युत्क्रम मान लेना। गुणनफल पक्का है या नहीं, जाँचो।
- ग्राफ़ को अक्षों से छुआ देना। y = k/x कभी x = 0 या y = 0 पर नहीं पहुँचता।
- भूल जाना कि ऋणात्मक k से वक्र दूसरे और चौथे चतुर्थांश में जाता है।