सीधा समानुपात (प्रत्यक्ष समानुपात)
दो राशियाँ सीधे समानुपाती हैं जब एक राशि दूसरी की एक तय संख्या गुना हो: y = k·x। संख्या k को समानुपाती स्थिरांक कहते हैं। आसान शब्दों में: x दोगुना, तिगुना या दस गुना हो तो y भी उतना ही गुना हो जाता है।
जाँच: हर जोड़ी में y को x से भाग दीजिए। हर बार एक ही संख्या आए तो संबंध सीधा है। इसका ग्राफ़ मूल बिंदु से गुज़रती सीधी रेखा होता है (क्योंकि x = 0 पर y = 0)।
उदाहरण: 1 कॉपी ₹12 की है तो y = 12x। 5 कॉपियाँ ₹60 की।
व्युत्क्रम समानुपात
दो राशियाँ व्युत्क्रमानुपाती हैं जब उनका गुणनफल तय रहे: x·y = k, यानी y = k/x। x दोगुना हो तो y आधा। इसका ग्राफ़ एक चिकना वक्र (अतिपरवलय) है जो किसी अक्ष को नहीं छूता, क्योंकि x और y कभी 0 नहीं हो सकते।
सावधान: "x बढ़े तो y घटे" इतना काफ़ी नहीं है। y = 10 − x भी घटता है, पर x·y स्थिर नहीं है। हमेशा गुणनफल जाँचिए।
उदाहरण: 6 मज़दूर काम 10 दिन में करते हैं। कुल काम 6 × 10 = 60 मज़दूर-दिन है। 15 मज़दूरों को 60 ÷ 15 = 4 दिन लगेंगे।
रैखिक और सीधा समानुपात में फ़र्क़
हर सीधा समानुपात रैखिक होता है, पर हर रैखिक संबंध सीधा समानुपात नहीं होता। रैखिक संबंध है y = a·x + b। यह सीधा समानुपात तभी है जब b = 0 हो, यानी रेखा मूल बिंदु से गुज़रे।
टैक्सी ₹20 बुकिंग फ़ीस और ₹12 प्रति किमी लेती है: 10 किमी का ₹140 और 20 किमी का ₹260। दूरी दोगुनी हुई पर किराया दोगुना नहीं हुआ, क्योंकि ₹20 तय हैं। ग्राफ़ y-अक्ष पर 0 से नहीं, 20 से शुरू होता है।
घात संबंध y = c·xⁿ
घात संबंध का रूप है y = c·xⁿ, जहाँ c स्थिरांक है और n घातांक (पूर्णांक, भिन्न या ऋणात्मक हो सकता है)।
- n = 1: सीधा समानुपात y = c·x।
- n = −1: व्युत्क्रम समानुपात y = c/x।
- n = 2: वर्ग या वृत्त का क्षेत्रफल (भुजा², πr²)।
- n = 3: घन का आयतन (भुजा³)।
- n = 1/2: y = c√x, जैसे गिरते पत्थर का समय ऊँचाई के √ पर निर्भर है।
घातांक n और स्थिरांक c ढूँढना
मान लीजिए y = c·xⁿ के दो बिंदु (x₁, y₁) और (x₂, y₂) पता हैं।
- दोनों समीकरणों को भाग दीजिए: y₂/y₁ = (x₂/x₁)ⁿ। c कट जाता है।
- n निकालिए: n = log(y₂/y₁) ÷ log(x₂/x₁)। संख्याएँ आसान हों तो सीधे दिख जाता है: x का अनुपात 2 और y का 4 हो तो n = 2।
- c निकालिए: c = y₁ ÷ x₁ⁿ।
- तीसरे बिंदु से जाँचिए।
लघुगणक (log-log) की चाल: log लेने पर log y = log c + n·log x मिलता है। इसलिए log y को log x के सामने खींचें तो ढलान n वाली सीधी रेखा मिलती है। वैज्ञानिक इसी से आँकड़ों से घातांक निकालते हैं।
पैमाना बदलने का असर
y = c·xⁿ में x को f गुना करें तो y, fⁿ गुना हो जाता है। स्थिरांक c का कोई असर नहीं पड़ता।
- सीधा (n = 1): f गुना।
- व्युत्क्रम (n = −1): 1/f गुना।
- क्षेत्रफल (n = 2): f² गुना। भुजा दोगुनी तो क्षेत्रफल 4 गुना।
- आयतन (n = 3): f³ गुना। भुजा दोगुनी तो आयतन 8 गुना।
इसीलिए 1:10 के पैमाने के मॉडल का सतही क्षेत्रफल असली का 1/100 और आयतन 1/1000 होता है।
खुद करके देखिए
3D में: आख़िरी चरण में c = 1 और n = 2 रखिए। देखने से पहले अंदाज़ा लगाइए: x = 3 पर y कितना है? फिर बिंदु देखकर जाँचिए। अब n = −1 रखकर फिर अंदाज़ा लगाइए।
घर पर: कागज़ के 3 वर्ग लीजिए जिनकी भुजाएँ 5 सेमी, 10 सेमी और 20 सेमी हों। गिनिए कि 5 सेमी वाले छोटे वर्ग हर एक को कितनी बार ढकते हैं: 1, 4 और 16। भुजा दोगुनी, क्षेत्रफल चार गुना: n = 2।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- सीधा समानुपात: y = k·x, y/x = k (स्थिर)
- व्युत्क्रम समानुपात: y = k/x, x·y = k (स्थिर)
- रैखिक: y = a·x + b; समानुपाती तभी जब b = 0
- घात संबंध: y = c·xⁿ
- पैमाना: x → f·x तो y → fⁿ·y
- दो बिंदुओं से: n = log(y₂/y₁) / log(x₂/x₁), c = y₁ / x₁ⁿ
हल किए गए उदाहरण
1. 5 कॉपियों का दाम ₹60 है। 8 कॉपियों का दाम निकालिए।
दाम ÷ संख्या = 60 ÷ 5 = 12 स्थिर है, इसलिए y = 12x। 8 कॉपियाँ: 12 × 8 = ₹96।
2. 6 मज़दूर एक काम 10 दिन में करते हैं। 15 मज़दूर (वही रफ़्तार) कितने दिन लेंगे?
मज़दूर ज़्यादा तो दिन कम: व्युत्क्रम। x·y = 6 × 10 = 60। 15 मज़दूर: 60 ÷ 15 = 4 दिन।
3. टैक्सी ₹20 बुकिंग और ₹12 प्रति किमी लेती है। क्या किराया दूरी के सीधे समानुपाती है?
किराया = 12x + 20। यहाँ b = 20 है, 0 नहीं। जाँच: 10 किमी → ₹140, 20 किमी → ₹260, जो 140 का दोगुना नहीं है। इसलिए यह रैखिक है पर सीधा समानुपाती नहीं।
4. वृत्त का क्षेत्रफल A = πr² है। त्रिज्या 3 गुना हो जाए तो क्षेत्रफल कितने गुना होगा?
n = 2 और f = 3, इसलिए क्षेत्रफल 3² = 9 गुना हो जाएगा।
5. घात संबंध y = c·xⁿ बिंदुओं (2, 12) और (4, 48) से गुज़रता है। n और c निकालिए।
y₂/y₁ = 48/12 = 4 और x₂/x₁ = 2। तो 2ⁿ = 4, n = 2। c = 12 ÷ 2² = 3। संबंध है y = 3x²।
6. y = c·xⁿ बिंदुओं (2, 5) और (6, 45) से गुज़रता है। x = 10 पर y निकालिए।
y का अनुपात = 45/5 = 9, x का अनुपात = 3, तो 3ⁿ = 9 और n = 2। c = 5 ÷ 2² = 1.25। x = 10 पर: y = 1.25 × 100 = 125।
7. एक मॉडल जहाज़ लंबाई में असली का 1:50 है। असली जहाज़ पर 2,500 m² पेंट लगता है। मॉडल पर कितना लगेगा?
क्षेत्रफल लंबाई के गुणक के वर्ग से बदलता है: (1/50)² = 1/2500। मॉडल का पेंट = 2500 ÷ 2500 = 1 m²।
आम गलतियाँ
- हर सीधी रेखा को सीधा समानुपात मान लेना। देखिए कि रेखा मूल बिंदु से गुज़रती है या नहीं (b = 0)।
- व्युत्क्रम की जाँच के लिए "x बढ़ा, y घटा" को काफ़ी मान लेना। गुणनफल x·y स्थिर होना चाहिए।
- क्षेत्रफल (n = 2) या आयतन (n = 3) बदलते समय fⁿ की जगह सिर्फ़ f से गुणा कर देना।
- n निकालते समय y के मान घटा देना, भाग देने की जगह। अनुपात लीजिए: n = log(y का अनुपात) ÷ log(x का अनुपात)।