चार चतुर्थांशों में निर्देशांक
बिंदु को (x, y) लिखते हैं। पहले आड़े चलो (x), फिर ऊपर या नीचे (y)। याद रखो: "पहले गलियारा, फिर सीढ़ी"।
दोनों अक्ष तल को चार चतुर्थांशों (quadrants) में बाँटते हैं:
- पहला: x धनात्मक, y धनात्मक, जैसे (3, 2)
- दूसरा: x ऋणात्मक, y धनात्मक, जैसे (−4, 1)
- तीसरा: दोनों ऋणात्मक, जैसे (−2, −3)
- चौथा: x धनात्मक, y ऋणात्मक, जैसे (5, −1)
(x₁, y₁) और (x₂, y₂) का मध्य-बिंदु = ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2)।
सीधी रेखा: y = mx + c
रेखा बनाने के लिए मानों की तालिका बनाओ: कुछ x चुनो, y निकालो, बिंदु लगाओ और पैमाने से जोड़ो। कोई बिंदु लाइन से बाहर हो तो हिसाब दोबारा जाँचो।
हर सीधी रेखा (खड़ी रेखा छोड़कर) y = mx + c के रूप में लिखी जा सकती है।
- m = प्रवणता (gradient) = चढ़ाई ÷ चाल = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)। धनात्मक m दाईं ओर ऊपर जाता है, ऋणात्मक m नीचे, और m = 0 बिल्कुल सपाट।
- c = y-अंतःखंड (intercept): रेखा y-अक्ष को (0, c) पर काटती है।
खास रेखाएँ: y = 3 आड़ी (क्षैतिज) है; x = −2 खड़ी है; y = x मूल बिंदु से 45° पर जाती है।
दो बिंदुओं से समीकरण: पहले m निकालो, फिर एक बिंदु y = mx + c में रखकर c निकालो। समीकरण 2y − 4x = 6 जैसा हो तो y को अकेला करो: y = 2x + 3।
रेखा अक्षों को कहाँ काटती है
x = 0 रखो तो y-अंतःखंड मिलता है। y = 0 रखो तो x-अंतःखंड (मूल) मिलता है।
समांतर और लंब रेखाएँ
समांतर रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं। उनकी प्रवणता बराबर होती है: y = 2x + 1 और y = 2x − 3 समांतर हैं।
लंब रेखाएँ समकोण पर मिलती हैं। उनकी प्रवणताओं का गुणनफल −1 होता है: m₁ × m₂ = −1। यानी लंब की प्रवणता ऋणात्मक व्युत्क्रम है: 2 → −½, −3 → ⅓, ¾ → −4/3।
उदाहरण: (4, 1) से होकर y = 2x + 5 पर लंब रेखा का m = −½। तब 1 = −½ × 4 + c, तो c = 3, और रेखा y = −½x + 3।
ग्राफ़ से समीकरण हल करना
रेखा का हर बिंदु उसके समीकरण को सही बनाता है। इसलिए दो रेखाएँ जहाँ कटती हैं, वह बिंदु दोनों समीकरणों को एक साथ सही करता है। यही युगपत समीकरणों का हल है।
उदाहरण: y = 2x + 1 और y = −x + 7 बनाओ। ये (2, 5) पर कटती हैं, तो x = 2, y = 5।
2x + 1 = 4 को ग्राफ़ से हल करने के लिए y = 2x + 1 और y = 4 बनाओ और मिलने वाले बिंदु का x पढ़ो (x = 1.5)। ग्राफ़ का उत्तर थोड़ा अनुमानित होता है, इसलिए समीकरण में रखकर जाँचो।
दूसरे ग्राफ़ जिन्हें पहचानना है
हर ग्राफ़ सीधी रेखा नहीं होता। इनके आकार पहचानना सीखो:
- द्विघात y = x² + bx + c: U आकार का वक्र (परवलय)। इसमें एक मोड़ बिंदु होता है। x-अक्ष को जहाँ काटे, वे मूल हैं। x² से पहले ऋण हो तो उल्टा U।
- घन y = x³: S जैसा वक्र।
- व्युत्क्रम y = 1/x: दो अलग वक्र जो अक्षों के पास जाते हैं पर उन्हें छूते नहीं।
- घातांकी y = 2ˣ: तेज़ी से और तेज़ बढ़ता है (ब्याज वाले पैसे की तरह)।
- त्रिकोणमितीय y = sin x, y = cos x: लहरें जो हर 360° पर दोहराती हैं।
ग्राफ़ खिसकाना: y = f(x) + a ग्राफ़ को a ऊपर ले जाता है। y = f(x + a) उसे a बाएँ ले जाता है। y = −f(x) x-अक्ष में उल्टा (परावर्तन) करता है, y = f(−x) y-अक्ष में।
रोज़ के ग्राफ़: प्रवणता और क्षेत्रफल
रोज़ के ग्राफ़ में अक्षों के मात्रक होते हैं, इसलिए प्रवणता एक दर होती है:
- दूरी-समय ग्राफ़: प्रवणता = चाल। सपाट हिस्सा = वस्तु रुकी है।
- वेग-समय ग्राफ़: प्रवणता = त्वरण; ग्राफ़ के नीचे का क्षेत्रफल = तय दूरी। क्षेत्रफल को आयत और त्रिभुज (या समलंब) में बाँटो।
- रूपांतरण ग्राफ़ (किलो से पाउंड, रुपये से डॉलर): प्रवणता = बदलने की दर।
- खर्च का ग्राफ़: प्रवणता = प्रति इकाई दाम, अंतःखंड = तय शुल्क।
वक्र ग्राफ़ में किसी बिंदु की प्रवणता वहाँ की स्पर्श रेखा की प्रवणता होती है; उसके नीचे का क्षेत्रफल पट्टियों से अनुमान लगाते हैं।
करके देखो: अपनी सैर का ग्राफ़
एक जैसी चाल से चलो और एक मिनट तक हर 10 सेकंड में कदम गिनो। तालिका (समय, कुल कदम) बनाओ और ग्राफ़ खींचो। क्या सीधी रेखा बनी? प्रवणता निकालो: यही तुम्हारे प्रति सेकंड कदम हैं। अगले मिनट तेज़ चलो: रेखा का क्या हुआ? फिर 3D स्लाइडर से मिलाओ: बड़ा m = ज़्यादा खड़ी रेखा।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = mx + c
- प्रवणता m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) = चढ़ाई ÷ चाल
- समांतर रेखाएँ: m₁ = m₂
- लंब रेखाएँ: m₁ × m₂ = −1
- मध्य-बिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- वेग-समय ग्राफ़: नीचे का क्षेत्रफल = दूरी
हल किए गए उदाहरण
1. y = 3x − 5 की प्रवणता और y-अंतःखंड बताओ।
y = mx + c से मिलाओ: m = 3 और c = −5। रेखा हर 1 आगे पर 3 ऊपर जाती है और y-अक्ष को (0, −5) पर काटती है।
2. (1, 2) और (4, 11) से जाने वाली रेखा की प्रवणता निकालो।
m = (11 − 2) ÷ (4 − 1) = 9 ÷ 3 = 3।
3. (2, 7) से होकर जाने वाली, प्रवणता 4 वाली रेखा का समीकरण लिखो।
y = 4x + c। (2, 7) रखो: 7 = 8 + c, तो c = −1। रेखा y = 4x − 1।
4. 3y + 6x = 12 को y = mx + c में बदलो और प्रवणता बताओ।
3y = −6x + 12, तो y = −2x + 4। प्रवणता −2, y-अंतःखंड 4।
5. (6, 1) से होकर y = 3x + 2 पर लंब रेखा निकालो।
लंब प्रवणता = −1/3। 1 = −1/3 × 6 + c = −2 + c, तो c = 3। रेखा y = −⅓x + 3।
6. एक कार 10 s में 0 से 20 m/s तक पहुँचती है, फिर 15 s तक 20 m/s पर चलती है। वेग-समय ग्राफ़ से दूरी निकालो।
त्रिभुज: ½ × 10 × 20 = 100 m। आयत: 15 × 20 = 300 m। कुल दूरी = 400 m। पहले हिस्से का त्वरण = प्रवणता = 20 ÷ 10 = 2 m/s²।
आम गलतियाँ
- निर्देशांक उल्टे पढ़ना: (x, y) में पहले आड़े, फिर ऊपर।
- प्रवणता को चाल ÷ चढ़ाई लिखना। सही है चढ़ाई ÷ चाल (y का बदलाव ÷ x का बदलाव)।
- नीचे जाती रेखा का ऋण चिह्न भूलना: उसकी प्रवणता ऋणात्मक होती है।
- लंब रेखा के लिए सिर्फ़ भिन्न उल्टी करना या सिर्फ़ चिह्न बदलना। दोनों करना ज़रूरी है: 2 → −½।