ग्राफ़ ही हल-समुच्चय है
दो चर वाले समीकरण के ग्राफ़ पर हर बिंदु (x, y) समीकरण को सही बनाता है। ग्राफ़ से बाहर का हर बिंदु ग़लत। इसलिए ग्राफ़ सभी हलों की तस्वीर है।
उदाहरण: (2, 3) रेखा y = 2x − 1 पर है क्योंकि 2 × 2 − 1 = 3। (2, 4) नहीं है, क्योंकि 3 ≠ 4।
प्रतिच्छेद बिंदु से f(x) = g(x) हल करना
f(x) = g(x) जैसा समीकरण हल करने के लिए:
- एक ही अक्षों पर y = f(x) और y = g(x) बनाइए।
- देखिए ग्राफ़ कहाँ प्रतिच्छेद करते (काटते) हैं।
- हर प्रतिच्छेद बिंदु का x-निर्देशांक एक हल है।
यह हर तरह के फलन पर काम करता है — रैखिक, द्विघात, घातांकी, मापांक — तब भी जब बीजगणित कठिन हो। ग्राफ़िंग टूल या मानों की सारणी से उत्तर जितना चाहें उतना सटीक मिल सकता है।
विशेष स्थिति: f(x) = 0 हल करने के लिए देखिए y = f(x) x-अक्ष (y = 0) को कहाँ काटता है।
हलों की संख्या = काटने वाले बिंदुओं की संख्या। समांतर रेखाएँ कभी नहीं काटतीं: कोई हल नहीं।
ग्राफ़ से f(x) > g(x) हल करना
f(x) > g(x) वहाँ सही है जहाँ f का ग्राफ़ g के ऊपर है। f(x) < g(x) वहाँ जहाँ f नीचे है।
- पहले प्रतिच्छेद बिंदु ढूँढिए: ये सीमा बिंदु हैं।
- फिर हर सीमा बिंदु के बाएँ और दाएँ देखिए।
- ≥ या ≤ हो तो प्रतिच्छेद बिंदु भी शामिल कीजिए।
उदाहरण: 2x − 1 > −x + 2। रेखाएँ x = 1 पर मिलती हैं। दाईं ओर y = 2x − 1 ऊपर है, तो उत्तर x > 1। बीजगणित से जाँच: 3x > 3, यानी x > 1 ✔।
दो चर वाली रैखिक असमिकाएँ: अर्ध-तल
y > 2x + 1 या 3x + 2y ≤ 12 जैसी असमिका एक पूरे क्षेत्र में सही होती है, जिसे अर्ध-तल कहते हैं।
- सीमा रेखा: '=' रखकर बनी रेखा बनाइए। < या > के लिए टूटी रेखा (रेखा के बिंदु हल नहीं), ≤ या ≥ के लिए पूरी रेखा।
- परीक्षण बिंदु: रेखा से बाहर का कोई बिंदु लीजिए, आमतौर पर (0, 0)। असमिका में रखिए।
- सही हो तो परीक्षण बिंदु वाली तरफ़ रंगिए; ग़लत हो तो दूसरी तरफ़।
छोटा तरीका: y > mx + c हो तो रेखा के ऊपर रंगिए; y < mx + c हो तो नीचे।
रैखिक असमिकाओं के निकाय
निकाय में दो या ज़्यादा असमिकाएँ होती हैं जो सब एक साथ सही होनी चाहिए। हर एक को रंगिए; जहाँ सब रंग मिलते हैं वही हल-समुच्चय है (इसे सुसंगत क्षेत्र या feasible region भी कहते हैं)।
क्षेत्र के कोने सीमा-रेखाओं के जोड़ों को हल करके मिलते हैं। अगर रंग कहीं नहीं मिलते तो निकाय का कोई हल नहीं। यही विचार रैखिक प्रोग्रामन का आधार है।
खुद आज़माइए: ग्राफ़ पेपर जाँच
ग्राफ़ पेपर पर y = x + 1 (टूटी) और y = −x + 3 (पूरी) बनाइए। पाँच बिंदु लगाइए: (0, 0), (0, 2), (1, 2), (−1, 3), (2, 0)। जाँचने से पहले अनुमान लगाइए कि कौन-से y > x + 1 और y ≤ −x + 3 वाले क्षेत्र में हैं। फिर हर बिंदु रखकर जाँचिए। आख़िरी चरण की 3D स्लाइडर से मिलाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- f(x) = g(x) का हल: प्रतिच्छेद बिंदुओं के x-निर्देशांक
- f(x) > g(x): जहाँ f का ग्राफ़ g के ऊपर है, वे x
- f(x) = 0: जहाँ y = f(x) x-अक्ष को काटे
- y > mx + c: रेखा के ऊपर अर्ध-तल; y < mx + c: नीचे
- कठोर (<, >): टूटी सीमा रेखा; समावेशी (≤, ≥): पूरी रेखा
- परीक्षण बिंदु (0, 0): सही → उसी तरफ़ रंगो; ग़लत → दूसरी तरफ़
- निकाय: हल = सभी अर्ध-तलों का साझा भाग
हल किए गए उदाहरण
1. क्या (3, 5) समीकरण y = 2x − 1 का हल है? (1, 2)?
(3, 5) के लिए: 2 × 3 − 1 = 5 ✔, तो यह ग्राफ़ पर है और हल है। (1, 2) के लिए: 2 × 1 − 1 = 1 ≠ 2, तो यह ग्राफ़ पर नहीं है।
2. 2x − 1 = −x + 2 को ग्राफ़ से हल कीजिए और जाँचिए।
y = 2x − 1 ((0, −1) और (1, 1) से) और y = −x + 2 ((0, 2) और (2, 0) से) बनाइए। वे (1, 1) पर काटती हैं, तो x = 1। जाँच: 2(1) − 1 = 1 और −1 + 2 = 1 ✔।
3. इन्हीं ग्राफ़ों से 2x − 1 ≤ −x + 2 हल कीजिए।
हमें चाहिए जहाँ नीली रेखा y = 2x − 1, y = −x + 2 पर या उसके नीचे हो। x = 1 के बाएँ वह नीचे है और x = 1 पर बराबर। उत्तर: x ≤ 1।
4. y ≥ −2x + 4 को रंगिए। क्या (1, 1) हल है?
सीमा y = −2x + 4 पूरी रेखा (≥), (0, 4) और (2, 0) से। (0, 0) जाँचें: 0 ≥ 4 ग़लत, तो मूलबिंदु से दूर वाली तरफ़ (रेखा के ऊपर) रंगिए। (1, 1): 1 ≥ −2 + 4 = 2? ग़लत, तो (1, 1) हल नहीं।
5. 3x + 2y < 12 का ग्राफ़ बनाइए और बताइए कौन-सी तरफ़ रंगनी है।
सीमा 3x + 2y = 12 अक्षों को (4, 0) और (0, 6) पर मिलती है; इसे टूटी रेखा (<) बनाइए। (0, 0): 0 < 12 सही, तो मूलबिंदु वाली तरफ़ (रेखा के नीचे) रंगिए।
6. क्षेत्र y > x + 1 और y ≤ −x + 3 का कोना बताइए और अंदर का एक बिंदु दीजिए।
कोना: x + 1 = −x + 3 → 2x = 2 → x = 1, y = 2। कोना (1, 2) टूटी रेखा पर है, इसलिए शामिल नहीं। (0, 2) जाँचें: 2 > 1 ✔ और 2 ≤ 3 ✔, तो (0, 2) अंदर है।
7. |x| = 0.5x + 3 को ग्राफ़ से हल कीजिए।
V-आकार y = |x| और रेखा y = 0.5x + 3 बनाइए। दायाँ भाग: x = 0.5x + 3 → x = 6 (बिंदु (6, 6))। बायाँ भाग: −x = 0.5x + 3 → x = −2 (बिंदु (−2, 2))। दो प्रतिच्छेद, तो x = −2 या x = 6।
आम गलतियाँ
- f(x) = g(x) के उत्तर में प्रतिच्छेद का y-मान लिख देना। हल x-निर्देशांक है।
- < या > के लिए पूरी रेखा बनाना। कठोर असमिका में रेखा के बिंदु हल नहीं होते, इसलिए टूटी रेखा।
- ऐसा परीक्षण बिंदु लेना जो सीमा रेखा पर ही हो। रेखा के एक तरफ़ साफ़ पड़ा बिंदु लीजिए।
- निकाय में हर असमिका रंगकर पूरा रंगा भाग उत्तर बता देना। सिर्फ़ साझा भाग सबको संतुष्ट करता है।