वृत्त के भाग
वृत्त एक गोल आकृति है। उसके किनारे का हर बिंदु बीच के बिंदु, यानी केंद्र, से बराबर दूरी पर होता है।
- त्रिज्या (r): केंद्र से किनारे तक की दूरी।
- व्यास (d): किनारे से किनारे तक की सीधी रेखा जो केंद्र से गुज़रती है। यह वृत्त की सबसे चौड़ी रेखा है। d = 2 × r।
- परिधि (C): किनारे के चारों ओर की पूरी दूरी। यह वृत्त का परिमाप है।
- क्षेत्रफल (A): वृत्त के अंदर की समतल जगह।
लंबाई सेमी या मीटर में नापते हैं। क्षेत्रफल वर्ग इकाई में नापते हैं: सेमी² या मी²।
पाई (π) क्या है?
कोई भी वृत्त लो। उसके चारों ओर की दूरी नापो। फिर उसकी चौड़ाई नापो। अब भाग दो: परिधि ÷ व्यास। जवाब हमेशा लगभग 3.14 आता है। इस खास संख्या को पाई कहते हैं और यूनानी अक्षर π से लिखते हैं।
सिक्का हो या बड़ा पहिया, फ़र्क नहीं पड़ता। किनारे की लंबाई चौड़ाई की लगभग 3.14 गुना होती है। इसीलिए किनारे पर 3 छड़ें और थोड़ा सा हिस्सा आता है।
π के अंक कभी खत्म नहीं होते और दोहराते भी नहीं: 3.14159265... स्कूल में हम 3.14 या भिन्न 22/7 लेते हैं। दोनों पास के मान हैं, पूरे सही नहीं। त्रिज्या 7 का गुणज हो तो 22/7 लो। सवाल कहे तो 3.14 लो।
वृत्त की परिधि
क्योंकि C ÷ d = π, इसलिए:
C = π × d
व्यास दो त्रिज्याओं के बराबर है, तो ऐसे भी लिख सकते हैं:
C = 2 × π × r
उदाहरण: r = 7 सेमी। C = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी।
अगर C दिया हो और त्रिज्या चाहिए, तो उल्टा चलो: r = C ÷ (2π)।
वृत्त का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल निकालने के लिए वृत्त को बहुत सारे बराबर पतले टुकड़ों में काटो, पिज़्ज़ा की तरह। उन्हें साथ-साथ रखो, एक ऊपर की ओर और अगला नीचे की ओर। वे जुड़कर लगभग आयत बना देते हैं।
- दोनों लंबी भुजाएँ मिलकर पूरा किनारा होती हैं। इसलिए आयत की लंबाई आधी परिधि = π × r है।
- आयत की ऊँचाई त्रिज्या r है।
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × ऊँचाई = π × r × r। इसलिए:
A = π × r²
जितने ज़्यादा टुकड़े करोगे, आकार उतना सीधा आयत बनेगा। हमारे 3D में 16 टुकड़े हैं।
सूत्रों का सही इस्तेमाल
- पहले देखो क्या दिया है: त्रिज्या या व्यास? व्यास दिया हो तो क्षेत्रफल के लिए पहले उसका आधा करो।
- सूत्र चुनो: चारों ओर की दूरी के लिए C, अंदर की जगह के लिए A।
- π की जगह 22/7 या 3.14 रखो, जैसा सवाल कहे।
- इकाई लिखो: C के लिए सेमी, A के लिए सेमी²।
अगर त्रिज्या दुगुनी हो जाए तो C दुगुनी होती है, पर A 4 गुना हो जाता है, क्योंकि r का वर्ग होता है।
खुद करके देखो
घर पर: एक गोल थाली या चूड़ी लो। उसके चारों ओर एक बार धागा लपेटकर लंबाई पर निशान लगाओ। धागे को सीधा करके फीते से नापो। फिर थाली की चौड़ाई नापो। धागे की लंबाई को चौड़ाई से भाग दो। क्या 3.14 के पास की संख्या आई? बोतल के ढक्कन और बाल्टी से भी करके देखो।
3D में: लुढ़काने से पहले अंदाज़ा लगाओ कि व्यास की कितनी छड़ें आएँगी। फिर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- d = 2r
- C = πd = 2πr
- A = πr²
- π ≈ 3.14 या 22/7
- r = C ÷ (2π)
- छल्ले का क्षेत्रफल = π(R² − r²)
हल किए गए उदाहरण
1. एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। उसकी परिधि निकालो। (π = 22/7)
C = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 सेमी।
2. एक गोल मेज़ के ऊपरी भाग का व्यास 10 सेमी है। परिधि निकालो। (π = 3.14)
C = πd = 3.14 × 10 = 31.4 सेमी।
3. एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका क्षेत्रफल निकालो। (π = 22/7)
A = πr² = 22/7 × 7 × 7 = 22 × 7 = 154 सेमी²।
4. एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 10 चक्करों में वह कितनी दूर जाएगा? (π = 22/7)
एक चक्कर = परिधि = 22/7 × 70 = 220 सेमी। दस चक्कर = 220 × 10 = 2200 सेमी = 22 मीटर।
5. एक वृत्त की परिधि 66 सेमी है। उसकी त्रिज्या और क्षेत्रफल निकालो। (π = 22/7)
r = C ÷ 2π = 66 ÷ (2 × 22/7) = 66 × 7 ÷ 44 = 10.5 सेमी। A = 22/7 × 10.5 × 10.5 = 346.5 सेमी²।
6. एक गोल पार्क की त्रिज्या 14 मीटर है। तार की बाड़ का खर्च ₹10 प्रति मीटर है। बाड़ का खर्च और पार्क का क्षेत्रफल निकालो। (π = 22/7)
C = 2 × 22/7 × 14 = 88 मी। खर्च = 88 × 10 = ₹880। A = 22/7 × 14 × 14 = 616 मी²।
7. एक समतल छल्ले की बाहरी त्रिज्या 10 सेमी और भीतरी त्रिज्या 6 सेमी है। उसका क्षेत्रफल निकालो। (π = 3.14)
छल्ला = बड़ा वृत्त − छोटा वृत्त = π × 10² − π × 6² = 3.14 × (100 − 36) = 3.14 × 64 = 200.96 सेमी²।
आम गलतियाँ
- A = πr² में व्यास को त्रिज्या मान लेना। व्यास 10 सेमी हो तो त्रिज्या 5 सेमी होती है।
- क्षेत्रफल को सेमी में लिखना, सेमी² की जगह। क्षेत्रफल हमेशा वर्ग इकाई में होता है।
- दोनों सूत्र मिला देना: C = 2πr चारों ओर की लंबाई देता है, A = πr² अंदर की जगह देता है।
- 22/7 को बिलकुल π मान लेना। यह केवल पास का मान है (3.1428...)। असली π कभी खत्म नहीं होता।