बढ़ता, घटता, उच्चतम और निम्नतम
ग्राफ़ दिखाता है कि आउटपुट (y) इनपुट (x) पर कैसे निर्भर है।
- बढ़ता हुआ: x बढ़ने पर y बढ़ता है (ग्राफ़ दाईं ओर ऊपर जाता है)।
- घटता हुआ: x बढ़ने पर y घटता है (ग्राफ़ नीचे आता है)।
- अचर (constant): y वही रहता है (सपाट भाग)।
उच्चतम (maximum) सबसे ऊँचा बिंदु है और निम्नतम (minimum) सबसे नीचा। जहाँ ग्राफ़ बढ़ने से घटने लगता है, वहाँ उच्चतम होता है।
अंतराल को कोष्ठक से लिखते हैं: [2, 6] यानी 2 से 6 तक सारे x, दोनों सिरे मिलाकर। (2, 6) में दोनों सिरे शामिल नहीं हैं। 3D में तापमान [0, 6] पर बढ़ रहा है और [6, 12] पर घट रहा है।
सारणी में अंतर
सारणी में x और y की सूची होती है। y कैसे बदलता है, यह देखने के लिए हर मान को अगले मान से घटाओ। ये अंतर हैं।
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 |
| अंतर | +2 | +2 | +2 | +2 |
x के बराबर क़दमों पर बराबर अंतर का मतलब एकसमान वृद्धि है: ग्राफ़ सीधी रेखा होता है। अगर अंतर बढ़ते जाएँ, तो वृद्धि तेज़ होती जा रही है। अगर अंतर घटते जाएँ, तो वृद्धि धीमी पड़ रही है, भले y अब भी बढ़ रहा हो।
वृद्धि आरेख (increment diagram)
वृद्धि एक छोटा क़दम है। वृद्धि आरेख क़दमों को पट्टियों से दिखाता है: हर पट्टी बताती है कि x के एक क़दम पर y कितना बदला।
- रेखा के ऊपर पट्टी: उस क़दम में y बढ़ा।
- रेखा के नीचे पट्टी: y घटा।
- बराबर पट्टियाँ: एकसमान बदलाव। बढ़ती पट्टियाँ: तेज़ होता बदलाव।
a से b तक एक अंतराल के लिए हम लिखते हैं Δx = b − a (इनपुट में बदलाव) और Δy = f(b) − f(a) (आउटपुट में बदलाव)। यूनानी अक्षर Δ (डेल्टा) का मतलब सिर्फ़ "में बदलाव" है। 3D में Δx नारंगी आड़ी रेखा है और Δy बैंगनी ऊपर वाली रेखा।
औसत परिवर्तन दर (अंतर-भागफल)
अंतराल [a, b] पर औसत परिवर्तन दर है
Δy ÷ Δx = (f(b) − f(a)) ÷ (b − a)
यह बताती है कि x के हर एक इकाई के क़दम पर y औसतन कितना बदलता है। इसे अंतर-भागफल (difference quotient) भी कहते हैं।
इसे तीन जगह से निकाल सकते हैं:
- ग्राफ़ से: f(a) और f(b) पढ़ो, फिर भाग दो।
- सारणी से: दो पंक्तियाँ लो और अंतरों को भाग दो।
- सूत्र से: a और b को f(x) में रखो, फिर भाग दो।
उत्तर की एक इकाई होती है: (y की इकाई) प्रति (x की इकाई), जैसे °C प्रति घंटा या km प्रति घंटा। धनात्मक दर का मतलब y औसतन बढ़ा, ऋणात्मक का मतलब घटा, और शून्य का मतलब वहीं लौट आया जहाँ से चला था।
ज्यामिति में यह दोनों बिंदुओं A और B से गुज़रती सीधी रेखा (छेदक रेखा, secant) की ढलान है।
किसी बिंदु पर ग्राफ़ की ढलान
वक्र पर दर बदलती रहती है, इसलिए पूरे ग्राफ़ की एक संख्या नहीं होती। पर एक बिंदु पर पूछ सकते हैं: ग्राफ़ ठीक यहाँ कितना तीखा है?
A लो और B को A के पास और पास लाओ। छोटे होते अंतराल पर औसत दर एक संख्या के पास बैठने लगती है। वही संख्या A पर ग्राफ़ की ढलान है। f(x) = x² के लिए x = 3 पर [3, 3.1] और [3, 3.01] की औसत दरें 6.1 और 6.01 हैं, इसलिए ढलान 6 है।
जहाँ ग्राफ़ का उच्चतम या निम्नतम बिंदु होता है, वहाँ ढलान 0 होती है (ग्राफ़ पल भर के लिए सपाट)। यही विचार आगे की कक्षाओं में अवकलज (derivative) तक ले जाता है।
अनुक्रम: पुनरावर्ती और सीधा सूत्र
अनुक्रम क्रम से लिखी संख्याओं की सूची है: a₁, a₂, a₃, … हर संख्या एक पद है।
- पुनरावर्ती सूत्र (recursive): पिछले पद से अगला पद देता है। उदाहरण: a₁ = 3, aₙ₊₁ = aₙ + 4 से 3, 7, 11, 15, … मिलता है।
- सीधा सूत्र (direct): क्रम संख्या n से कोई भी पद सीधे देता है। उदाहरण: aₙ = 3 + 4(n − 1), इसलिए a₁₀ = 39।
रैखिक (समांतर) अनुक्रम: अंतर अचर होता है, aₙ = a₁ + d(n − 1), जहाँ d सार्व अंतर है। परिवर्तन की दर हर क़दम पर d है।
चरघातांकी (गुणोत्तर) अनुक्रम: हर पद पिछले पद को एक ही गुणक g से गुणा करके बनता है, aₙ = a₁ × gⁿ⁻¹। अगर g > 1 तो अंतर बढ़ते हैं। उदाहरण: 100, 200, 400, 800, … में g = 2।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- Δx = b − a (इनपुट में बदलाव)
- Δy = f(b) − f(a) (आउटपुट में बदलाव)
- औसत परिवर्तन दर = Δy ÷ Δx = (f(b) − f(a)) ÷ (b − a)
- रैखिक अनुक्रम: aₙ = a₁ + d(n − 1); पुनरावर्ती: aₙ₊₁ = aₙ + d
- चरघातांकी अनुक्रम: aₙ = a₁ × gⁿ⁻¹; पुनरावर्ती: aₙ₊₁ = g × aₙ
- दर की इकाई = y की इकाई प्रति x की इकाई
हल किए गए उदाहरण
1. आसान। एक पौधा दिन 0 पर 5 cm का है और दिन 1 से 4 तक 7, 9, 11, 13 cm का। क्या अंतर बराबर हैं? औसत वृद्धि दर क्या है?
अंतर: 7 − 5 = 2, 9 − 7 = 2, 11 − 9 = 2, 13 − 11 = 2। सब बराबर हैं, इसलिए वृद्धि एकसमान (रैखिक) है। औसत दर = (13 − 5) ÷ (4 − 0) = 8 ÷ 4 = 2 cm प्रति दिन।
2. आसान। 3D के तापमान ग्राफ़ में f(2) = 16 °C और f(4) = 18.4 °C है। [2, 4] पर औसत दर निकालो।
Δx = 4 − 2 = 2 घंटे। Δy = 18.4 − 16 = 2.4 °C। दर = 2.4 ÷ 2 = 1.2 °C प्रति घंटा (धनात्मक: गर्मी बढ़ रही है)।
3. मध्यम। एक बस के मीटर में 10:00 बजे 120 km और 12:30 बजे 295 km पढ़ा गया। औसत चाल निकालो।
Δy = 295 − 120 = 175 km। Δx = 2.5 घंटे। दर = 175 ÷ 2.5 = 70 km प्रति घंटा।
4. मध्यम। f(x) = x² के लिए [1, 4] पर औसत परिवर्तन दर निकालो।
f(1) = 1 और f(4) = 16। Δy = 15, Δx = 3। दर = 15 ÷ 3 = 5।
5. मध्यम। जीवाणुओं की गिनती 100, 200, 400, 800 है। बदलाव बताओ, 5वाँ पद और सीधा सूत्र लिखो।
अंतर: 100, 200, 400। वे बढ़ रहे हैं, इसलिए वृद्धि तेज़ हो रही है। हर पद पिछले का 2 गुना है, इसलिए यह चरघातांकी अनुक्रम है और g = 2। 5वाँ पद = 800 × 2 = 1600। सीधा सूत्र: aₙ = 100 × 2ⁿ⁻¹।
6. मध्यम। एक अनुक्रम में a₁ = 3 और aₙ₊₁ = aₙ + 4 है। a₁₀ निकालो।
यह रैखिक है और d = 4। सीधा सूत्र: aₙ = 3 + 4(n − 1)। a₁₀ = 3 + 4 × 9 = 39।
7. कठिन। f(x) = −x² + 6x के लिए [1, 5] पर औसत परिवर्तन दर निकालो। उत्तर क्या बताता है और क्या नहीं बताता?
f(1) = −1 + 6 = 5 और f(5) = −25 + 30 = 5। Δy = 0, इसलिए औसत दर 0 ÷ 4 = 0। यह बताती है कि फ़ंक्शन वहीं लौट आया जहाँ से चला था। यह नहीं बताती कि ग्राफ़ सपाट है: वह x = 3 पर उच्चतम बिंदु (f = 9) तक चढ़ता है और फिर नीचे आता है।
8. कठिन। f(x) = x² के लिए, 3 से शुरू होने वाले छोटे होते अंतरालों से x = 3 पर ढलान का अनुमान लगाओ।
[3, 3.1]: (9.61 − 9) ÷ 0.1 = 6.1। [3, 3.01]: (9.0601 − 9) ÷ 0.01 = 6.01। [3, 3.001]: लगभग 6.001। मान 6 के पास बैठ रहे हैं, इसलिए x = 3 पर ग्राफ़ की ढलान 6 है।
आम गलतियाँ
- ऊपर और नीचे अलग क्रम में घटाना। f(b) − f(a) और b − a (एक ही क्रम) लो। दोनों उलट दो तो उत्तर वही रहता है; सिर्फ़ एक उलटा तो चिह्न गलत हो जाता है।
- इकाई भूल जाना। दर "°C प्रति घंटा" या "km प्रति घंटा" है, केवल संख्या नहीं।
- औसत दर 0 आने पर मान लेना कि ग्राफ़ सपाट है। ग्राफ़ ऊपर जाकर वापस भी आ सकता है।
- y घट रहा हो पर दर बस छोटी हो रही हो, तब वृद्धि को "घटती" कह देना। सिर्फ़ क़दमों का आकार नहीं, Δy का चिह्न भी देखो।