समीकरण निकाय क्या है?
निकाय उन समीकरणों का समूह है जिनमें अज्ञात राशियाँ वही हैं। हल को हर समीकरण एक साथ सत्य करना होता है। दो रेखाओं के लिए हल वह बिंदु है जहाँ रेखाएँ कटती हैं। दो रेखाएँ एक बिंदु पर कट सकती हैं (एक हल), समांतर होकर कभी नहीं मिल सकतीं (कोई हल नहीं), या एक ही रेखा हो सकती हैं (अनगिनत हल)।
उदाहरण: x + y = 5 और x − y = 1। (3, 2) रखिए: 3 + 2 = 5 और 3 − 2 = 1। दोनों सत्य हैं, इसलिए (3, 2) हल है।
समतुल्य का मतलब क्या है?
दो निकाय समतुल्य हैं यदि उनके हलों का समुच्चय बिल्कुल एक जैसा हो। न एक ज्यादा, न एक कम। वे देखने में बहुत अलग हो सकते हैं। जैसे {x + y = 5, x − y = 1} और {x = 3, y = 2} समतुल्य हैं, क्योंकि दोनों का एकमात्र हल (3, 2) है।
हम कठिन निकाय को समतुल्य आसान निकाय में बदलते हैं, ताकि मिला हुआ उत्तर कठिन निकाय के लिए भी सही हो।
सुरक्षित चालें (समतुल्य रूपांतरण)
- दो समीकरणों की अदला-बदली। क्रम से फर्क नहीं पड़ता।
- एक समीकरण को ऐसी संख्या से गुणा करना जो शून्य न हो। रेखा के सभी बिंदु रेखा पर ही रहते हैं।
- एक समीकरण में दूसरे का गुणज जोड़ना। पुराना कटान बिंदु दोनों समीकरणों को सत्य करता है, इसलिए जोड़ को भी सत्य करता है।
असुरक्षित चालें: 0 से गुणा (समीकरण 0 = 0 बन जाता है और कुछ नहीं बताता), या समीकरण के सिर्फ एक पक्ष को बदलना। दोनों पक्षों का वर्ग करने से भी गलत हल जुड़ सकते हैं, इसलिए अंत में जाँच जरूर करें।
विलोपन विधि से हल
विलोपन सुरक्षित चालों की एक कड़ी है जो एक अज्ञात को हटा देती है।
- निकाय लिखिए। उदाहरण: 2x + 3y = 12 और 4x − y = 10।
- दूसरे समीकरण को 3 से गुणा कीजिए: 12x − 3y = 30।
- इसे पहले में जोड़िए: 14x = 42, इसलिए x = 3।
- 4x − y = 10 में x = 3 रखिए: 12 − y = 10, इसलिए y = 2।
- दोनों मूल समीकरणों में जाँच कीजिए।
हर नया निकाय पिछले का समतुल्य है, इसलिए (3, 2) पहले निकाय का भी उत्तर है।
करके देखिए
पहले अनुमान, फिर जाँच: 3D की खुली प्रयोग-अवस्था में k को खिसकाइए। खिसकाने से पहले बताइए कि कटान बिंदु का क्या होगा। फिर वह k खोजिए जिससे नीली रेखा सीधी खड़ी हो जाए। उसके बाद 0 से गुणा वाला बटन दबाकर देखिए कि यह चाल सुरक्षित क्यों नहीं है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- निकाय: सभी समीकरण एक साथ सत्य
- समतुल्य निकाय: हलों का समुच्चय समान
- नया समीकरण 2 = (समीकरण 2) + k × (समीकरण 1)
- c से गुणा तभी जब c ≠ 0
- विलोपन: एक अज्ञात के गुणांक विपरीत बनाइए, फिर जोड़िए
हल किए गए उदाहरण
1. x + y = 7 और x − y = 1 हल कीजिए।
समीकरण जोड़ने पर 2x = 8, इसलिए x = 4। फिर y = 7 − 4 = 3। जाँच: 4 + 3 = 7 और 4 − 3 = 1। हल (4, 3)।
2. 3x + y = 10 और x + y = 4 हल कीजिए।
पहले में से दूसरा घटाइए: 2x = 6, इसलिए x = 3। फिर y = 4 − 3 = 1। जाँच: 9 + 1 = 10 और 3 + 1 = 4। हल (3, 1)।
3. दिखाइए कि {x + y = 5, x − y = 1} और {x = 3, x + y = 5} समतुल्य हैं।
मूल दोनों समीकरण जोड़ने पर 2x = 6, यानी x = 3। x + y = 5 वैसे ही रखिए। नया निकाय सुरक्षित चालों से बना है और उसका हल x = 3, y = 2 है। दोनों निकायों का एकमात्र हल (3, 2) है।
4. 2x + 3y = 12 और 4x − y = 10 हल कीजिए।
दूसरे समीकरण को 3 से गुणा कीजिए: 12x − 3y = 30। पहले में जोड़ने पर 14x = 42, इसलिए x = 3। फिर 4(3) − y = 10 से y = 2। हल (3, 2)।
5. निकाय x + y = 5, x − y = 1 में समीकरण 2 को (समीकरण 2) + 2 × (समीकरण 1) से बदलिए। नया समीकरण लिखिए और पुराने हल की जाँच कीजिए।
नया समीकरण: (x − y) + 2(x + y) = 1 + 10, यानी 3x + y = 11। (3, 2) रखने पर 9 + 2 = 11। सत्य है, इसलिए हल बचा रहता है।
आम गलतियाँ
- समीकरण के सिर्फ एक पक्ष को गुणा कर देना।
- समीकरण को 0 से गुणा करना। वह 0 = 0 बन जाता है और जानकारी खो जाती है।
- समीकरण जोड़ते समय दाहिने पक्ष जोड़ना भूल जाना।
- उत्तर को मूल निकाय में न जाँचना, खासकर वर्ग करने के बाद।