वार्षिकी क्या है?
वार्षिकी यानी बराबर समय के अंतर पर दी जाने वाली बराबर किस्तें। किराया, हर महीने की बचत योजना और लोन की EMI, सब वार्षिकी हैं।
मुख्य बातें
- किस्त (PMT): हर बार दी जाने वाली तय रकम।
- किस्त अंतराल: दो किस्तों के बीच का समय (महीना, तिमाही, साल)।
- अवधि (term): पहली से आख़िरी किस्त तक का कुल समय।
- ब्याज दर: सालाना दर; हर अवधि की दर i = दर ÷ साल में किस्तें।
- किस्तों की संख्या: n = साल × साल में किस्तें।
साधारण सरल वार्षिकी (ordinary simple annuity) में किस्त हर अवधि के अंत में दी जाती है, और ब्याज भी उसी अंतराल पर जुड़ता है।
भविष्य मूल्य और वर्तमान मूल्य
भविष्य मूल्य FV = PMT × ((1 + i)^n − 1) ÷ i: बचत कितनी बढ़ेगी।
वर्तमान मूल्य PV = PMT × (1 − (1 + i)^−n) ÷ i: सारी भविष्य की किस्तें आज कितने पैसे के बराबर हैं। ऋण एक वर्तमान मूल्य है।
शर्तें बदलने का असर
एक बार में एक चीज़ बदलिए और नतीजा देखिए (3D में आज़माइए):
- ऊँची ब्याज दर → उसी ऋण पर बड़ी किस्त, ज़्यादा कुल ब्याज। बचत में ऊँची दर से भविष्य मूल्य बढ़ता है।
- लंबी अवधि → छोटी किस्त, पर बहुत ज़्यादा किस्तें, इसलिए कुल ब्याज बहुत ज़्यादा।
- ज़्यादा बार किस्त (महीने की जगह हफ़्ते में) → बकाया जल्दी घटता है, ब्याज थोड़ा कम।
- बड़ी नियमित किस्त → ऋण सालों पहले ख़त्म, कुल ब्याज बहुत कम।
- बचत जल्दी शुरू करना → चक्रवृद्धि ब्याज को ज़्यादा समय मिलता है।
स्प्रेडशीट या वित्तीय कैलकुलेटर (TVM solver) से हिसाब जल्दी दोबारा करके तुलना कर सकते हैं।
मॉर्टगेज (गृह ऋण)
मॉर्टगेज घर या ज़मीन खरीदने का ऋण है। संपत्ति ही ज़मानत होती है: किस्तें रुकें तो बैंक संपत्ति ले सकता है।
- डाउन पेमेंट: शुरू में आप ख़ुद जो पैसा देते हैं। कीमत − डाउन पेमेंट = ऋण (मूलधन)।
- परिशोधन अवधि: पूरा ऋण चुकाने का समय, अक्सर 20–30 साल।
- टर्म: कुछ देशों में दर केवल छोटी अवधि (जैसे 5 साल) के लिए तय होती है, फिर नवीनीकरण।
- स्थिर या परिवर्ती दर: स्थिर दर नहीं बदलती; परिवर्ती दर बाज़ार के साथ बदलती है।
- किस्त की आवृत्ति: मासिक, पाक्षिक (साल में 26) या साप्ताहिक।
- अन्य खर्च: फीस, बीमा, संपत्ति कर।
परिशोधन तालिका बनाना
परिशोधन तालिका हर किस्त को एक पंक्ति में दिखाती है। हर पंक्ति में:
- ब्याज = बकाया × i
- चुकाया मूलधन = किस्त − ब्याज
- नया बकाया = पुराना बकाया − चुकाया मूलधन
उदाहरण: ऋण 1,00,000, 6% सालाना, मासिक, i = 0.005, किस्त 644.30।
| # | किस्त | ब्याज | मूलधन | बकाया |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1,00,000.00 | |||
| 1 | 644.30 | 500.00 | 144.30 | 99,855.70 |
| 2 | 644.30 | 499.28 | 145.02 | 99,710.68 |
| 3 | 644.30 | 498.55 | 145.75 | 99,564.93 |
ब्याज वाला कॉलम हर पंक्ति में थोड़ा घटता है, मूलधन वाला बढ़ता है। आख़िरी किस्त कुछ पैसे अलग हो सकती है ताकि बकाया ठीक शून्य हो।
करके देखें
3D में दर 6%, 25 साल, साल में 12 किस्तें रखिए। कुल ब्याज लिख लीजिए। अब सिर्फ़ साल 15 कीजिए। पहले अनुमान लगाइए: कुल ब्याज बढ़ेगा या घटेगा? फिर जाँचिए। फिर 25 साल रखकर साल में 26 किस्तें कीजिए।
घर पर: ऊपर के तीन नियमों से स्प्रेडशीट में 4 पंक्तियों की तालिका बनाइए और इस पेज की तालिका से मिलाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- i = सालाना दर ÷ साल में किस्तें, n = साल × साल में किस्तें
- FV = PMT × [(1 + i)^n − 1] ÷ i
- PV = PMT × [1 − (1 + i)^−n] ÷ i
- PMT = PV × i ÷ [1 − (1 + i)^−n]
- एक अवधि का ब्याज = बकाया × i; चुकाया मूलधन = PMT − ब्याज
- कुल ब्याज = PMT × n − ऋण
हल किए गए उदाहरण
1. आप 2 साल तक हर महीने के अंत में 100 बचाते हैं, 6% सालाना, मासिक चक्रवृद्धि। भविष्य मूल्य निकालिए।
i = 0.06 ÷ 12 = 0.005, n = 24। FV = 100 × (1.005^24 − 1) ÷ 0.005 = 100 × 0.12716 ÷ 0.005 = 100 × 25.432 = 2,543.20।
2. 5 साल तक हर साल के अंत में 500, 4% सालाना पर। आज की कौन-सी एक रकम इसके बराबर है?
i = 0.04, n = 5। PV = 500 × (1 − 1.04^−5) ÷ 0.04 = 500 × (1 − 0.82193) ÷ 0.04 = 500 × 4.4518 = 2,225.91।
3. 1,00,000 के मॉर्टगेज पर 6% सालाना, 25 साल, मासिक किस्त निकालिए।
i = 0.005, n = 300। 1.005^−300 = 0.22396। PMT = 1,00,000 × 0.005 ÷ (1 − 0.22396) = 500 ÷ 0.77604 = 644.30।
4. उसी मॉर्टगेज पर कुल भुगतान और कुल ब्याज कितना?
कुल भुगतान = 644.30 × 300 = 1,93,290। कुल ब्याज = 1,93,290 − 1,00,000 = 93,290। लगभग ऋण जितना!
5. तालिका की पहली पंक्ति: बकाया 1,00,000, i = 0.005, किस्त 644.30। ब्याज, मूलधन और नया बकाया?
ब्याज = 1,00,000 × 0.005 = 500.00। मूलधन = 644.30 − 500.00 = 144.30। नया बकाया = 99,855.70।
6. ₹30,00,000 का होम लोन, 9% सालाना, 20 साल। मासिक EMI?
i = 0.09 ÷ 12 = 0.0075, n = 240। 1.0075^−240 = 0.16641। EMI = 30,00,000 × 0.0075 ÷ 0.83359 = 22,500 ÷ 0.83359 ≈ ₹26,992।
7. वही 1,00,000, 6%, पर 15 साल में। 25 साल से कुल ब्याज की तुलना कीजिए।
n = 180, 1.005^−180 = 0.40748। PMT = 500 ÷ 0.59252 = 843.86। कुल = 843.86 × 180 ≈ 1,51,895; ब्याज ≈ 51,895। यानी हर महीने लगभग 200 ज़्यादा देकर करीब 41,400 की बचत।
आम गलतियाँ
- सालाना दर को ही i मान लेना। 6% सालाना और मासिक किस्त हो तो i = 0.005, 0.06 नहीं।
- साल को ही n मान लेना। 25 साल की मासिक किस्तें = 300।
- मानना कि हर किस्त पूरी की पूरी ऋण घटाती है। केवल मूलधन वाला हिस्सा बकाया घटाता है।
- छोटी किस्त देखकर लंबी अवधि को सस्ता समझना। कुल ब्याज बहुत ज़्यादा होता है।