आसंग सारणी (contingency table): दो तरह से गिनना
आसंग सारणी लोगों को एक साथ दो वर्गों में बाँटकर गिनती है। पंक्तियाँ एक वर्ग (शहर), स्तंभ दूसरा वर्ग (पेय)। हर डिब्बा एक खाना (cell) है।
इसमें सिर्फ़ गिनती लेते हैं, प्रतिशत या माध्य नहीं।
| चाय | कॉफ़ी | योग | |
|---|---|---|---|
| शहर A | 60 | 40 | 100 |
| शहर B | 40 | 60 | 100 |
| योग | 100 | 100 | 200 |
परिकल्पनाएँ: स्वतंत्रता या समरूपता
स्वतंत्रता (संबंध) परीक्षण: एक नमूना, दो चर। H0: दोनों चर स्वतंत्र हैं। H1: उनमें संबंध है।
समरूपता परीक्षण (homogeneity): कई अलग नमूने, एक चर। H0: हर समूह में बँटवारा एक जैसा है।
गणना एक ही है, बस आँकड़े इकट्ठा करने का तरीक़ा और H0 के शब्द बदलते हैं।
गुडनेस ऑफ़ फ़िट इसका एक-पंक्ति वाला रूप है: क्या गिनती किसी मॉडल (जैसे सही पासा) से मेल खाती है? यहाँ df = k − 1।
अपेक्षित गिनती और χ² का सूत्र
अगर H0 सही है, तो हर खाने को उसका उचित हिस्सा मिलना चाहिए:
E = (पंक्ति योग × स्तंभ योग) ÷ कुल योग
फिर हर खाने का (O − E)² ÷ E निकालकर जोड़ें:
χ² = Σ (O − E)² ÷ E
स्वातंत्र्य कोटि: df = (पंक्तियाँ − 1) × (स्तंभ − 1)।
शर्तें
- आँकड़े यादृच्छिक नमूने की गिनती हों।
- प्रेक्षण एक-दूसरे से स्वतंत्र हों।
- हर अपेक्षित गिनती कम से कम 5 हो, वरना पंक्तियाँ/स्तंभ मिलाएँ।
फ़ैसला: क्रांतिक मान, p-मान और निष्कर्ष
बड़ा χ² मतलब आँकड़े H0 के अनुमान से दूर हैं।
- χ² > क्रांतिक मान हो तो H0 अस्वीकार।
- या p-मान < α (अक्सर 0.05) हो तो H0 अस्वीकार।
5% पर क्रांतिक मान: df 1 → 3.841, df 2 → 5.991, df 3 → 7.815, df 4 → 9.488।
निष्कर्ष संदर्भ में लिखें: "5% स्तर पर प्रमाण है कि पेय की पसंद शहर से जुड़ी है।" यह परीक्षण संबंध दिखाता है, कारण नहीं।
येट्स संशोधन (2×2 सारणी)
χ² एक चिकना वक्र है, पर गिनती पूर्ण संख्याओं में उछलती है। 2×2 सारणी (df = 1) में येट्स संशोधन:
χ² = Σ (|O − E| − 0.5)² ÷ E
यह χ² को थोड़ा छोटा करता है। हमारे उदाहरण में: 4 × (10 − 0.5)² ÷ 50 = 7.22, फिर भी 3.841 से बड़ा।
घर पर करके देखें
20 दोस्तों या घरवालों से पूछें: "सुबह पसंद है या शाम?" और लिखें कि वे 18 से कम हैं या 18+। 2×2 सारणी बनाएँ, हर खाने का E निकालें, फिर χ²। क्या यह 3.84 से बड़ा है? (20 लोगों में कुछ E 5 से कम हो सकते हैं, यही शर्तों वाला सबक है!)
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- E = (पंक्ति योग × स्तंभ योग) ÷ कुल योग
- χ² = Σ (O − E)² ÷ E
- df = (r − 1)(c − 1); गुडनेस ऑफ़ फ़िट में df = k − 1
- येट्स (2×2): χ² = Σ (|O − E| − 0.5)² ÷ E
- χ² > क्रांतिक मान या p < α हो तो H0 अस्वीकार
- 5% क्रांतिक मान: df 1 = 3.841, df 2 = 5.991, df 3 = 7.815
हल किए गए उदाहरण
1. 2×2 सारणी में पंक्ति योग 30 और 70, स्तंभ योग 40 और 60 हैं। पंक्ति 1, स्तंभ 1 की अपेक्षित गिनती निकालें।
कुल = 100। E = 30 × 40 ÷ 100 = 12।
2. 3 पंक्ति और 4 स्तंभ वाली सारणी का df निकालें।
df = (3 − 1)(4 − 1) = 6।
3. एक खाने में O = 18, E = 12। χ² में इसका हिस्सा?
(18 − 12)² ÷ 12 = 36 ÷ 12 = 3।
4. शहर A: 60 चाय, 40 कॉफ़ी। शहर B: 40 चाय, 60 कॉफ़ी। 5% पर जाँचें कि पसंद शहर पर निर्भर है या नहीं।
H0: स्वतंत्र। सब योग 100, n = 200, हर E = 50। हर हिस्सा 100 ÷ 50 = 2। χ² = 8। df = 1, क्रांतिक 3.841। 8 > 3.841, H0 अस्वीकार: संबंध का प्रमाण है।
5. ऊपर की सारणी पर येट्स संशोधन लगाएँ।
हर खाने में |O − E| = 10। (9.5)² ÷ 50 = 1.805। χ² = 4 × 1.805 = 7.22 > 3.841। फिर भी H0 अस्वीकार।
6. तीन स्कूल (हर एक से 100 छात्र): P: क्रिकेट 50, फ़ुटबॉल 50; Q: 40, 60; R: 30, 70। 5% पर समरूपता जाँचें।
स्तंभ योग: क्रिकेट 120, फ़ुटबॉल 180, n = 300। E(क्रिकेट) = 40, E(फ़ुटबॉल) = 60 हर स्कूल में। हिस्से: P: 2.5 + 1.667; Q: 0; R: 2.5 + 1.667। χ² = 8.33। df = 2, क्रांतिक 5.991। 8.33 > 5.991, H0 अस्वीकार: तीनों स्कूलों की पसंद एक जैसी नहीं।
आम गलतियाँ
- गिनती की जगह प्रतिशत लेना।
- E से भाग देना भूल जाना।
- ग़लत df: यह (r − 1)(c − 1) है, r × c नहीं।
- यह कहना कि परीक्षण कारण साबित करता है; यह सिर्फ़ संबंध दिखाता है।