घटनाएँ उपसमुच्चय के रूप में (Events as subsets)
सर्वे के सभी छात्रों को एक बड़ा समुच्चय समझो। घटना उसके अंदर का छोटा समूह है: फुटबॉल खेलने वाले छात्र घटना F हैं, शतरंज पसंद करने वाले घटना C हैं। घटना सबका उपसमुच्चय है।
- F और C (F ∩ C): दोनों समूहों में आने वाले छात्र। यह साझा हिस्सा है।
- F या C (F ∪ C): कम से कम एक समूह में।
- F नहीं (F′): F के बाहर सब।
घटना की प्रायिकता = उसके समूह का आकार ÷ सबका आकार: P(F) = 60 / 100 = 0.6।
द्वि-मार्गी सारणी (Two-way tables)
द्वि-मार्गी सारणी एक ही लोगों को एक साथ दो सवालों से छाँटती है। एक सवाल पंक्तियाँ बनाता है, दूसरा स्तंभ। हर डिब्बा (कोष्ठक) दोनों में आने वालों को गिनता है।
| फुटबॉल | फुटबॉल नहीं | कुल | |
|---|---|---|---|
| शतरंज | 18 | 12 | 30 |
| शतरंज नहीं | 42 | 28 | 70 |
| कुल | 60 | 40 | 100 |
अंदर के डिब्बे संयुक्त गिनती देते हैं (F और C = 18)। किनारे सिर्फ़ एक सवाल का कुल देते हैं। हमेशा जाँचो कि डिब्बों का जोड़ कुल योग के बराबर है।
सप्रतिबंध प्रायिकता: सिर्फ़ एक समूह रखो
P(C | F) पढ़ते हैं "F दिया होने पर C की प्रायिकता"। हमें पहले से पता है कि छात्र फुटबॉल खेलता है, इसलिए सिर्फ़ फुटबॉल वाला स्तंभ देखते हैं। नया कुल 60 है, 100 नहीं।
P(C | F) = P(C और F) ÷ P(F) = 18/100 ÷ 60/100 = 18/60 = 0.30।
ऊपर डिब्बे की गिनती और नीचे शर्त वाली पंक्ति या स्तंभ का कुल रखो। सावधान: P(F | C) = 18/30 = 0.60 अलग सवाल है, क्योंकि अब शर्त शतरंज है।
स्वतंत्रता की जाँच
दो घटनाएँ स्वतंत्र हैं अगर एक को जानने से दूसरी की संभावना नहीं बदलती। संख्याओं से जाँचो:
- P(C | F) = P(C), या
- P(F और C) = P(F) × P(C)।
यहाँ P(C | F) = 0.30 और P(C) = 30/100 = 0.30। दोनों बराबर हैं, इसलिए इस सर्वे में फुटबॉल और शतरंज स्वतंत्र हैं। साथ ही P(F) × P(C) = 0.6 × 0.3 = 0.18 = P(F और C)।
डेटा B में फुटबॉल-और-शतरंज वाला डिब्बा 27 है। तब P(C | F) = 27/60 = 0.45, जो 0.30 नहीं है। फुटबॉल जानने से संभावना बदलती है, इसलिए घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं।
गड़बड़ मत करो: स्वतंत्र और परस्पर अपवर्जी अलग बातें हैं। परस्पर अपवर्जी घटनाओं का कोई साझा डिब्बा नहीं होता। स्वतंत्र घटनाओं का अक्सर होता है।
खुद करके देखो: अपनी सारणी बनाओ
घर के 20 लोगों से दो हाँ/ना सवाल पूछो, जैसे "क्या आपको चाय पसंद है?" और "क्या आपको कॉफ़ी पसंद है?"। 2 × 2 सारणी बनाओ। फिर P(कॉफ़ी), P(कॉफ़ी | चाय) निकालो और तुलना करो। गणना से पहले अनुमान लगाओ कि क्या वे बराबर होंगे। फिर जाँचो। असली डेटा लगभग कभी पूरी तरह स्वतंत्र नहीं होता, इसलिए छोटा अंतर सामान्य है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- P(A) = (A में संख्या) / (कुल)
- P(A और B) = (दोनों में संख्या) / (कुल)
- P(A | B) = P(A और B) / P(B) = (दोनों में संख्या) / (B में संख्या)
- स्वतंत्र हैं यदि P(A | B) = P(A)
- स्वतंत्र हैं यदि P(A और B) = P(A) × P(B)
हल किए गए उदाहरण
1. 100 छात्रों के सर्वे में 60 फुटबॉल खेलते हैं और 18 फुटबॉल खेलते हैं और शतरंज भी पसंद करते हैं। P(फुटबॉल और शतरंज) निकालो।
P = 18 / 100 = 0.18।
2. 200 यात्रियों में 120 बस लेते हैं और 30 बस लेते हैं और साइकिल भी चलाते हैं। P(साइकिल | बस) निकालो।
सिर्फ़ 120 बस वाले रखो। P = 30 / 120 = 0.25।
3. 100 छात्रों की सारणी से P(फुटबॉल या शतरंज) निकालो।
समूह जोड़ो और दो बार गिना साझा हिस्सा घटाओ: (60 + 30 - 18) / 100 = 72/100 = 0.72।
4. उसी सारणी से P(फुटबॉल | शतरंज) निकालो और P(शतरंज | फुटबॉल) से तुलना करो।
P(फुटबॉल | शतरंज) = 18/30 = 0.60। P(शतरंज | फुटबॉल) = 18/60 = 0.30। शर्त अलग है, इसलिए संख्याएँ अलग हैं।
5. 50 छात्रों में 20 चश्मा लगाते हैं। 30 लड़कियों में 12 चश्मा लगाती हैं। क्या "लड़की होना" और "चश्मा" स्वतंत्र हैं?
P(चश्मा) = 20/50 = 0.40। P(चश्मा | लड़की) = 12/30 = 0.40। बराबर हैं, इसलिए स्वतंत्र हैं।
6. P(A) = 0.4, P(B) = 0.5 और P(A और B) = 0.3। क्या A और B स्वतंत्र हैं?
P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.20, पर P(A और B) = 0.30। बराबर नहीं हैं, इसलिए स्वतंत्र नहीं हैं।
आम गलतियाँ
- कुल योग से भाग देना, शर्त वाले समूह के कुल से नहीं: P(C | F) में 60 आता है, 100 नहीं।
- शर्त उलट देना: P(A | B) और P(B | A) अक्सर अलग होते हैं।
- स्वतंत्र का मतलब "साथ नहीं हो सकते" समझना। वह परस्पर अपवर्जी है।
- "A या B" के लिए P(A) + P(B) जोड़ना और साझा हिस्सा घटाना भूल जाना।