दो-तरफ़ा सारणी क्या है?
श्रेणीगत चर (categorical variable) हर व्यक्ति या चीज़ को किसी समूह में रखता है, जैसे "पैदल / साइकिल / बस" या "छोटे / बड़े"। दो-तरफ़ा सारणी (contingency table भी कहते हैं) दो श्रेणीगत चरों की गिनती साथ दिखाती है: एक पंक्तियों में, दूसरा स्तंभों में। हर खाने (cell) में एक पंक्ति-समूह और एक स्तंभ-समूह दोनों वालों की गिनती होती है।
| पैदल | साइकिल | बस | योग | |
|---|---|---|---|---|
| छोटे | 12 | 6 | 2 | 20 |
| बड़े | 4 | 8 | 8 | 20 |
| योग | 16 | 14 | 10 | 40 |
कच्चे आँकड़ों से सारणी बनाने के लिए श्रेणियाँ लिखो, हर उत्तर को उसके खाने में मिलान चिह्न से गिनो, फिर योग जोड़ो। किनारे वाले योग सीमांत योग हैं; नीचे-दाएँ कोने की संख्या कुल योग है।
संयुक्त, सीमांत और सशर्त सापेक्ष बारंबारता
सापेक्ष बारंबारता = गिनती को भिन्न या प्रतिशत में बदलना। तीन तरह की होती है:
- संयुक्त (joint): खाना ÷ कुल योग। छोटे और पैदल: 12 ÷ 40 = 0.30।
- सीमांत (marginal): पंक्ति या स्तंभ योग ÷ कुल योग। सभी पैदल: 16 ÷ 40 = 0.40।
- सशर्त (conditional): खाना ÷ उसकी पंक्ति (या स्तंभ) का योग। छोटे बच्चों में पैदल: 12 ÷ 20 = 0.60।
सशर्त को "में से" या "दिया है कि" से पढ़ो: "बड़े बच्चों में से 40% बस से आते हैं" (8 ÷ 20)। पर "बस वालों में से 80% बड़े हैं" (8 ÷ 10) अलग प्रश्न है, उत्तर भी अलग। वाक्य बताता है कि किस योग से भाग देना है।
आरेख और संबंध
दो श्रेणीगत चरों के लिए काम के आरेख:
- साथ-साथ दंड आरेख: हर समूह की गिनती के दंड पास-पास।
- खंडित (stacked) दंड आरेख: हर समूह का एक दंड, 100% ऊँचा, दूसरे चर के हिसाब से रंगीन हिस्सों में बँटा।
- मोज़ेक प्लॉट: खंडित दंड जैसा, पर दंड की चौड़ाई समूह का आकार भी दिखाती है।
दो चरों में संबंध (association) है अगर एक को जानने से दूसरे की संभावना बदल जाए। सशर्त प्रतिशत मिलाओ: छोटों में 60% पैदल, बड़ों में 20%, बड़ा अंतर, तो उम्र और आने का तरीक़ा संबंधित हैं। अगर हर पंक्ति में प्रतिशत लगभग बराबर हों, तो हिस्से एक सीध में होंगे और संबंध कम या नहीं होगा। संबंध यह साबित नहीं करता कि एक चर दूसरे का कारण है।
सारणी के आगे: दो-चर आँकड़े
दो-तरफ़ा सारणी दो श्रेणीगत चरों के लिए है। जब दोनों चर संख्या हों (जैसे लंबाई और बाँह का फैलाव), तब प्रकीर्ण आरेख (scatter plot) बनाओ और रुझान, सबसे ठीक रेखा और अवशेष (residual) देखो (रैखिक समाश्रयण वाला पाठ देखो)। सवाल वही है: क्या एक चर दूसरे के बारे में कुछ बताता है?
करके देखो: 20 दोस्तों या परिवार वालों से दो सवाल पूछो: "चाय या कॉफ़ी?" और "उम्र 30 से कम या 30+?" सारणी बनाओ, हर उम्र समूह के सशर्त प्रतिशत निकालो, और तय करो कि पसंद का उम्र से संबंध है या नहीं। फिर अपनी गिनती 3D खेल में डालकर खंडित दंड देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- संयुक्त सापेक्ष बारंबारता = खाना ÷ कुल योग
- सीमांत सापेक्ष बारंबारता = पंक्ति (या स्तंभ) योग ÷ कुल योग
- सशर्त सापेक्ष बारंबारता = खाना ÷ उसकी पंक्ति (या स्तंभ) का योग
- सभी संयुक्त बारंबारताओं का योग 1; हर पंक्ति की सशर्त बारंबारताओं का योग 1
- संबंध: समूहों के सशर्त प्रतिशत अलग
हल किए गए उदाहरण
1. स्कूल सारणी में कितने छात्र बस से आते हैं, और यह कौन-सा भिन्न है?
बस स्तंभ योग = 2 + 8 = 10। सीमांत सापेक्ष बारंबारता = 10 ÷ 40 = 25%।
2. "बड़े और साइकिल" की संयुक्त सापेक्ष बारंबारता?
खाना = 8। 8 ÷ 40 = 20%।
3. छोटे बच्चों में से कितने प्रतिशत साइकिल से आते हैं?
छोटों की पंक्ति के योग से भाग: 6 ÷ 20 = 30%।
4. साइकिल वालों में से कितने प्रतिशत छोटे हैं?
अब साइकिल स्तंभ योग से भाग: 6 ÷ 14 ≈ 43%। अलग योग, अलग उत्तर।
5. सारणी पूरी करो: 50 लोग (25 पुरुष, 25 महिलाएँ); 30 को फ़ुटबॉल पसंद, जिनमें 18 महिलाएँ हैं।
पंक्ति 1: पसंद करने वाले पुरुष = 30 − 18 = 12। पंक्ति 2: नापसंद पुरुष = 25 − 12 = 13। पंक्ति 3: नापसंद महिलाएँ = 25 − 18 = 7। पंक्ति 4: जाँच: 13 + 7 = 20 = 50 − 30। हर पंक्ति और स्तंभ ठीक जुड़ता है।
6. 200 वयस्कों में व्यायाम करने वाले 120 में से 90 अच्छी नींद लेते हैं, और न करने वाले 80 में से 30। क्या संबंध है?
सशर्त: 90 ÷ 120 = 75% और 30 ÷ 80 = 37.5%। बहुत अलग, तो संबंध है (पर इससे साबित नहीं होता कि व्यायाम ही कारण है)।
आम गलतियाँ
- "में से" या "जिन्होंने" वाले प्रश्न में कुल योग से भाग देना। यह सशर्त है: उस समूह के योग से भाग दो।
- "बस वालों में से % बड़े" और "बड़ों में से % बस वाले" को एक मानना। खाना वही, भाजक अलग।
- अलग आकार वाले समूहों की कच्ची गिनती मिलाना। हमेशा प्रतिशत मिलाओ।
- संबंध को कारण मान लेना। कोई तीसरा चर (जैसे स्कूल से दूरी) दोनों को प्रभावित कर सकता है।