ज्यामितीय प्रायिकता क्या है?
आम प्रायिकता में हम परिणाम गिनते हैं: पासे के 6 फलक। पर कुछ प्रयोगों में परिणाम अनगिनत होते हैं। बोर्ड पर एक बिंदु की अनगिनत जगहें हैं। इन्हें गिना नहीं जा सकता।
इसलिए हम इन्हें नापते हैं। अगर हर जगह बराबर संभावित है, तो
P = अनुकूल भाग का माप ÷ पूरी आकृति का माप
"माप" दोनों के लिए एक ही प्रकार का होना चाहिए: लंबाई या क्षेत्रफल।
समतल आकृति में यादृच्छिक बिंदु (क्षेत्रफल)
64 क्षेत्रफल के वर्ग में एक बिंदु यादृच्छिक चुनो। उसके अंदर 20 क्षेत्रफल का वृत्त है। वृत्त में गिरने की प्रायिकता 20 ÷ 64 = 0.31।
a भुजा के वर्ग में r त्रिज्या का वृत्त हो तो P = πr² ÷ a²। निशाना जितना बड़ा, संभावना उतनी ज्यादा। निशाना पूरी आकृति हो तो P = 1; उसका क्षेत्रफल शून्य हो तो P = 0।
सीमा रेखा पर ठीक एक बिंदु का क्षेत्रफल शून्य होता है, इसलिए उस एक बिंदु पर लगने की प्रायिकता 0 है।
रेखाखंड पर यादृच्छिक बिंदु (लंबाई)
रेखाखंड सीधी रेखा का एक टुकड़ा है। लंबाई 10 के रेखाखंड पर बिंदु चुनो। 4 लंबाई का भाग हरा है। तो P(हरा) = 4 ÷ 10 = 0.4।
समय भी रेखाखंड जैसा है। बस हर 20 मिनट पर आती है। तुम किसी भी क्षण पहुँचो, तो 5 मिनट से कम इंतज़ार की प्रायिकता 5 ÷ 20 = 0.25।
चाप पर यादृच्छिक बिंदु (कोण)
चाप (arc) वृत्त का एक टेढ़ा टुकड़ा है। स्पिनर वृत्त के किनारे पर किसी भी जगह रुकता है। चाप की लंबाई उसके कोण के समानुपाती है। इसलिए P = चाप का कोण ÷ 360°।
90° के त्रिज्यखंड के लिए P = 90 ÷ 360 = 0.25। जो दिया हो, कोण या चाप की लंबाई, वही लो। दोनों को मिलाओ मत।
किसी भी सवाल को हल करने के चरण
- पूरी आकृति और अनुकूल भाग बनाओ।
- माप चुनो: लंबाई, क्षेत्रफल या कोण।
- भाग का माप और पूरे का माप निकालो।
- भाग ÷ पूरा करो।
- जाँचो कि उत्तर 0 और 1 के बीच है।
सुझाव: कभी वह भाग निकालना आसान होता है जो नहीं चाहिए। तब P = 1 − P(नहीं)।
करके देखो
घर पर 20 सेमी का वर्ग और उसके अंदर 6 सेमी त्रिज्या का वृत्त बनाओ। आँखें बंद करके ऊपर से 30 सूखे दाने गिराओ। वृत्त में दाने गिनो। पहले अनुमान लगाओ: π × 36 ÷ 400 = 0.28। क्या गिनती पास है? 3D में 100 डार्ट फेंको और त्रिज्या स्लाइडर बदलो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- P = अनुकूल माप ÷ कुल माप
- रेखाखंड: P = भाग की लंबाई ÷ पूरी लंबाई
- समतल आकृति: P = भाग का क्षेत्रफल ÷ पूरा क्षेत्रफल
- चाप: P = चाप का कोण ÷ 360°
- वर्ग में वृत्त: P = πr² ÷ a²
- P(नहीं) = 1 − P
हल किए गए उदाहरण
1. वर्गाकार बोर्ड की भुजा 10 सेमी है। उसमें 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त बना है। डार्ट यादृच्छिक गिरता है। वृत्त पर लगने की प्रायिकता निकालो।
पूरा क्षेत्रफल = 10 × 10 = 100। वृत्त का क्षेत्रफल = π × 3² = 28.3। P = 28.3 ÷ 100 = 0.283।
2. बस हर 20 मिनट पर आती है। तुम किसी भी समय पहुँचते हो। 5 मिनट से कम इंतज़ार की प्रायिकता क्या है?
20 मिनट को रेखाखंड समझो। अनुकूल भाग = 5 मिनट। P = 5 ÷ 20 = 0.25।
3. स्पिनर में लाल त्रिज्यखंड 90° का है। लाल पर रुकने की प्रायिकता निकालो।
P = 90 ÷ 360 = 1/4 = 0.25।
4. 3 × 4 के आयत में एक बिंदु यादृच्छिक चुना गया। उसके विकर्ण से कटे निचले त्रिभुज में होने की प्रायिकता क्या है?
आयत का क्षेत्रफल = 12। त्रिभुज उसका आधा = 6। P = 6 ÷ 12 = 0.5।
5. 10 भुजा के वर्ग में यादृच्छिक बिंदु हर भुजा से 2 इकाई से ज्यादा दूर होने की प्रायिकता क्या है?
ऐसे बिंदु भीतरी वर्ग बनाते हैं, भुजा 10 − 4 = 6। क्षेत्रफल 36। P = 36 ÷ 100 = 0.36।
6. निशाना 5 त्रिज्या का वृत्त है। लाल छल्ला त्रिज्या 3 से 5 के बीच है। P(लाल छल्ला) निकालो।
छल्ले का क्षेत्रफल = π(25 − 9) = 16π। पूरा = 25π। P = 16 ÷ 25 = 0.64।
7. दो दोस्त एक घंटे में किसी भी समय पहुँचते हैं और 15 मिनट इंतज़ार करते हैं। मिलने की प्रायिकता क्या है?
60 × 60 का वर्ग बनाओ (पहुँचने के समय)। वे मिलते हैं अगर समय का अंतर 15 से ज्यादा न हो। "न मिलने" का भाग 45 भुजा वाले दो त्रिभुज हैं: कुल 45 × 45 = 2025। पूरा = 3600। P(न मिलें) = 0.5625, इसलिए P(मिलें) = 0.4375।
आम गलतियाँ
- एक भाग के लिए कोण और दूसरे के लिए लंबाई लेना। भाग और पूरे के लिए एक ही माप लो।
- अनुकूल और कुल "बिंदु" गिनना। बिंदु अनगिनत हैं; लंबाई या क्षेत्रफल लो।
- भूल जाना कि निशाना आकृति के अंदर होना चाहिए। केवल साझा हिस्सा गिना जाता है।
- πr² में व्यास लगा देना। हमेशा त्रिज्या लो।