परिकल्पना परीक्षण का विचार
हम पूरी जनसंख्या (सिक्के की सारी उछालें, मशीन की सारी बोतलें) के बारे में जानना चाहते हैं, पर हमें सिर्फ़ नमूना दिखता है। परिकल्पना परीक्षण पूछता है: क्या नमूने का नतीजा इतना अजीब है कि पुरानी मान्यता पर शक करें?
- शून्य परिकल्पना H₀: "कुछ नया नहीं", एक सटीक मान के साथ, जैसे p = 0.5 या μ = 500।
- वैकल्पिक परिकल्पना H₁: जो शक है, जैसे p > 0.5 (एक-पुच्छीय) या p ≠ 0.5 (द्वि-पुच्छीय)।
- परीक्षण प्रतिदर्शज: नमूने से निकली संख्या (जैसे X = चित की संख्या)।
- सार्थकता स्तर α: H₀ अस्वीकार करने से पहले नतीजा कितना दुर्लभ हो, अक्सर 5%।
क्रांतिक क्षेत्र और p-मान
क्रांतिक क्षेत्र वे मान हैं जिन पर H₀ अस्वीकार होती है। उसका पहला मान क्रांतिक मान है।
p-मान: H₀ सच होने पर मिले नतीजे या उससे चरम नतीजे की प्रायिकता।
नियम: p-मान ≤ α (या नतीजा क्रांतिक क्षेत्र में) तो H₀ अस्वीकार, वरना अस्वीकार नहीं। हम कभी नहीं कहते कि H₀ "सिद्ध" हुई।
हल किया विचार (द्विपद, एक-पुच्छीय)
X ~ B(20, 0.5)। P(X ≥ 15) = 0.0207 ≤ 0.05, पर P(X ≥ 14) = 0.0577 > 0.05। क्रांतिक क्षेत्र X ≥ 15, असली सार्थकता स्तर 2.07%।
एक-पुच्छीय और द्वि-पुच्छीय परीक्षण
H₁ में "से ज़्यादा" या "से कम" हो तो पूरा α एक पूँछ में। "बराबर नहीं" हो तो α बाँटो: 5% के लिए हर पूँछ में 2.5%।
उदाहरण: H₀: p = 0.5, H₁: p ≠ 0.5, n = 20, 5%। P(X ≤ 5) = 0.0207 ≤ 0.025, P(X ≥ 15) = 0.0207। क्रांतिक क्षेत्र: X ≤ 5 या X ≥ 15।
माध्य और अनुपात के परीक्षण (सामान्य बंटन)
बड़े नमूने में नमूना माध्य x̄ लगभग सामान्य होता है। H₀: μ = μ₀ (σ ज्ञात) के लिए
z = (x̄ − μ₀) ÷ (σ / √n)
z की तुलना क्रांतिक मान से: 1.645 (एक-पुच्छीय 5%), ±1.96 (द्वि-पुच्छीय 5%), 2.326 (एक-पुच्छीय 1%)। σ अज्ञात और n छोटा हो तो t-परीक्षण।
अनुपात के लिए: z = (p̂ − p₀) ÷ √(p₀(1 − p₀)/n)। दो माध्यों या दो अनुपातों के लिए अंश में अंतर आता है और मानक त्रुटियाँ जुड़ती हैं।
95% विश्वास्यता अंतराल और द्वि-पुच्छीय 5% परीक्षण एक ही बात कहते हैं: μ₀ अंतराल से बाहर हो तभी H₀ अस्वीकार।
टाइप I और टाइप II त्रुटि
- टाइप I त्रुटि: H₀ सच है फिर भी अस्वीकार। इसकी प्रायिकता = असली सार्थकता स्तर (जैसे 2.07%)।
- टाइप II त्रुटि: H₀ झूठी है फिर भी अस्वीकार नहीं। यह असली मान पर निर्भर है।
- शक्ति (power) = 1 − P(टाइप II)। बड़ा नमूना शक्ति बढ़ाता है।
α छोटा करने से टाइप I घटती है, पर टाइप II बढ़ती है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- p-मान = P(इतना या ज़्यादा चरम नतीजा | H₀ सच)
- p-मान ≤ α हो तो H₀ अस्वीकार
- द्विपद: H₀ में X ~ B(n, p₀)
- z = (x̄ − μ₀) / (σ/√n)
- अनुपात: z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1 − p₀)/n)
- शक्ति = 1 − P(टाइप II त्रुटि)
हल किए गए उदाहरण
1. सिक्का 20 बार उछाला, 16 चित। 5% पर जाँचो कि क्या यह चित की ओर झुका है।
H₀: p = 0.5, H₁: p > 0.5, X ~ B(20, 0.5)। p-मान = P(X ≥ 16) = 0.0059 < 0.05, इसलिए H₀ अस्वीकार। सिक्के के झुके होने का प्रमाण है।
2. वही परीक्षण, पर 14 चित मिले।
P(X ≥ 14) = 0.0577 > 0.05। H₀ अस्वीकार नहीं। झुकाव का पर्याप्त प्रमाण नहीं।
3. H₀: p = 0.5, H₁: p > 0.5, n = 20, 5% पर क्रांतिक क्षेत्र और टाइप I त्रुटि की प्रायिकता निकालो।
P(X ≥ 15) = 0.0207 ≤ 0.05, P(X ≥ 14) = 0.0577 > 0.05। क्रांतिक क्षेत्र X ≥ 15, P(टाइप I) = 0.0207।
4. मशीन को 500 ml भरना चाहिए, σ = 4 ml। 16 बोतलों का माध्य 497.5 ml। 5% द्वि-पुच्छीय परीक्षण करो।
z = (497.5 − 500) ÷ (4/4) = −2.5। |−2.5| > 1.96, H₀ अस्वीकार। मशीन गलत भर रही लगती है।
5. बीज कंपनी का दावा: 80% बीज उगते हैं। 200 में से 148 उगे। 5% पर जाँचो कि दर कम है या नहीं।
p̂ = 0.74। z = (0.74 − 0.8) ÷ √(0.8 × 0.2 / 200) = −0.06 ÷ 0.02828 = −2.12। क्रांतिक मान −1.645। −2.12 < −1.645, H₀ अस्वीकार।
6. n = 20, H₀: p = 0.5, 5% (क्रांतिक क्षेत्र X ≥ 15), असली p = 0.7। P(टाइप II) निकालो।
टाइप II = P(X ≤ 14 | p = 0.7) ≈ 0.584। यानी लगभग 58% संभावना कि झुकाव पकड़ा न जाए। शक्ति ≈ 0.416।
आम गलतियाँ
- H₀ में असमिका लिखना (p > 0.5)। H₀ में हमेशा सटीक मान होता है।
- कहना "H₀ सिद्ध हो गई"। सही: अस्वीकार करने का पर्याप्त प्रमाण नहीं।
- p-मान के लिए P(X ≥ 16) की जगह P(X = 16) लेना।
- द्वि-पुच्छीय परीक्षण में α आधा करना भूलना।