यादृच्छिक चर क्या है?
संयोग का प्रयोग वह है जिसका परिणाम पहले से पता नहीं होता, जैसे सिक्के उछालना या पासा फेंकना।
यादृच्छिक चर एक नियम है जो हर परिणाम को एक संख्या में बदल देता है। इसे बड़े अक्षर X से लिखते हैं।
उदाहरण: 3 सिक्के उछालें और X = चितों की संख्या। परिणाम HTH पर X = 2। TTT पर X = 0।
इसे "यादृच्छिक" कहते हैं क्योंकि इसका मान संयोग पर टिका है, और "चर" क्योंकि यह अलग-अलग मान ले सकता है।
असतत और संतत यादृच्छिक चर
असतत (discrete) यादृच्छिक चर अलग-अलग गिने जा सकने वाले मान लेता है: चितों की संख्या, गोलों की संख्या, डिब्बे में ख़राब बल्बों की संख्या।
संतत (continuous) यादृच्छिक चर किसी सीमा में कोई भी मान ले सकता है: विद्यार्थी की लंबाई, दौड़ पूरी करने का समय, आम का द्रव्यमान।
संतत चर में किसी एक सटीक मान की प्रायिकता 0 होती है। इसलिए एक वक्र बनाते हैं जिसे प्रायिकता घनत्व फलन f(x) कहते हैं, और दो मानों के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ही प्रायिकता है। कुल क्षेत्रफल 1 होता है।
प्रायिकता बंटन
प्रायिकता बंटन हर मान x और उसकी प्रायिकता P(X = x) की तालिका (या ग्राफ़) है।
3 सिक्कों के लिए: x = 0, 1, 2, 3 और P = 1/8, 3/8, 3/8, 1/8।
दो नियम हमेशा लागू होते हैं:
- हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच है।
- सब प्रायिकताओं का जोड़ ठीक 1 है।
इन नियमों से छूटा हुआ मान निकाल सकते हैं। अगर P(X = x) = k, 2k, 3k, 4k, तो 10k = 1, यानी k = 0.1।
संचयी प्रायिकता P(X ≤ x), x तक की सब प्रायिकताओं का जोड़ है।
प्रत्याशित मान (माध्य)
प्रत्याशित मान या माध्य वह औसत परिणाम है जो प्रयोग बहुत बार दोहराने पर मिलता है।
E(X) = Σ x · P(X = x)। हर मान को उसकी प्रायिकता से गुणा कीजिए और जोड़िए।
3 सिक्कों के लिए: E(X) = 0·1/8 + 1·3/8 + 2·3/8 + 3·1/8 = 12/8 = 1.5।
E(X) ज़रूरी नहीं कि X का संभव मान हो। 1.5 चित कभी नहीं आते, पर बहुत बार उछालने पर औसत 1.5 होता है।
उपयोगी नियम: E(aX + b) = a·E(X) + b, और दो चरों के लिए E(X + Y) = E(X) + E(Y)।
प्रसरण और मानक विचलन
प्रसरण फैलाव मापता है: मान आम तौर पर माध्य से कितनी दूर हैं।
Var(X) = E(X²) − [E(X)]², जहाँ E(X²) = Σ x² · P(x)।
मानक विचलन σ = √Var(X), X की ही इकाई में होता है।
3 सिक्कों के लिए: E(X²) = 0 + 3/8 + 12/8 + 9/8 = 3, तो Var = 3 − 2.25 = 0.75 और σ ≈ 0.87।
नियम: Var(aX + b) = a²·Var(X) (b जोड़ने से फैलाव नहीं बदलता)। X और Y स्वतंत्र हों तो Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)।
n स्वतंत्र प्रयासों में, हर बार सफलता की प्रायिकता p हो (द्विपद चर), तो E(X) = np और Var(X) = np(1 − p)।
प्रत्याशित मान से निर्णय लेना
कोई खेल निष्पक्ष है अगर आपका प्रत्याशित लाभ 0 है।
उदाहरण: पासा फेंकने के ₹20 लगते हैं। छक्का आए तो ₹60 मिलते हैं, वरना कुछ नहीं। प्रत्याशित लाभ = 60 × 1/6 − 20 = 10 − 20 = −₹10 प्रति खेल। औसतन ₹10 का घाटा, तो खेल निष्पक्ष नहीं है।
कंपनियाँ अलग-अलग विकल्पों (जैसे वारंटी लें या नहीं, कौन-सी फ़सल बोएँ) की प्रत्याशित लागत की तुलना करके सबसे अच्छा चुनती हैं। पर प्रत्याशित मान लंबे समय का औसत है; एक बार के प्रयास में कुछ भी हो सकता है।
करके देखिए: सिक्कों की तालिका
3 सिक्के 40 बार उछालिए। हर बार कितने चित आए, लिखिए। 0, 1, 2 और 3 के मिलान चिह्न बनाइए। हर गिनती को 40 से भाग दीजिए। भिन्न लगभग 0.125, 0.375, 0.375 और 0.125 के पास आनी चाहिए। अब सारे 40 परिणाम जोड़कर 40 से भाग दीजिए। उत्तर 1.5 के पास होगा, यही प्रत्याशित मान है। 3D के चरण 4 से मिलाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- Σ P(X = x) = 1, 0 ≤ P(x) ≤ 1
- E(X) = Σ x·P(x)
- Var(X) = E(X²) − [E(X)]², σ = √Var(X)
- E(aX + b) = aE(X) + b, Var(aX + b) = a²Var(X)
- द्विपद: E(X) = np, Var(X) = np(1 − p)
हल किए गए उदाहरण
1. दो सिक्के उछाले गए। X = पटों की संख्या। प्रायिकता बंटन लिखिए।
परिणाम: HH, HT, TH, TT। X = 0 (HH), 1 (HT, TH), 2 (TT)। P(0) = 1/4, P(1) = 1/2, P(2) = 1/4। जाँच: 1/4 + 1/2 + 1/4 = 1।
2. x = 0, 1, 2, 3 के लिए P(X = x) = 0.1, k, 0.3, 2k है। k निकालिए।
जोड़ 1: 0.1 + k + 0.3 + 2k = 1 → 3k = 0.6 → k = 0.2।
3. एक पासा फेंका गया। X = आई संख्या। E(X) निकालिए।
हर फलक की प्रायिकता 1/6। E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)/6 = 21/6 = 3.5।
4. पासे के अंक का प्रसरण निकालिए।
E(X²) = (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)/6 = 91/6 ≈ 15.17। Var = 15.17 − 12.25 ≈ 2.92। σ ≈ 1.71।
5. P(0) = 0.2, P(1) = 0.5, P(2) = 0.3। E(X), Var(X) और E(3X + 2) निकालिए।
E(X) = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1। E(X²) = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7। Var = 1.7 − 1.21 = 0.49। E(3X + 2) = 3 × 1.1 + 2 = 5.3।
6. एक लॉटरी में ₹50 के 500 टिकट बिके। एक इनाम ₹10 000 और दो इनाम ₹2 500 के हैं। एक टिकट का प्रत्याशित लाभ निकालिए।
प्रत्याशित जीत = 10 000 × 1/500 + 2 500 × 2/500 = 20 + 10 = ₹30। लाभ = 30 − 50 = −₹20। औसतन ₹20 का घाटा।
7. एक खिलाड़ी का फ़्री थ्रो 0.8 प्रायिकता से सफल होता है। 10 थ्रो में सफल थ्रो का माध्य और मानक विचलन निकालिए।
द्विपद, n = 10, p = 0.8। E(X) = 8। Var = 10 × 0.8 × 0.2 = 1.6। σ = √1.6 ≈ 1.26।
आम गलतियाँ
- तालिका उपयोग करने से पहले यह न जाँचना कि प्रायिकताओं का जोड़ 1 है।
- Var(X) = E(X²) − E(X) लिखना। सही है E(X²) − [E(X)]², माध्य का वर्ग घटाना है।
- सोचना कि E(X) हमेशा X का संभव मान होगा। चितों का माध्य 1.5 हो सकता है।
- Var(aX + b) = a·Var(X) + b लिखना। b हट जाता है और a का वर्ग लगता है: a²·Var(X)।