सतत यादृच्छिक चर और घंटी वक्र
सतत यादृच्छिक चर (continuous random variable) किसी सीमा में कोई भी मान ले सकता है, जैसे लंबाई या समय। किसी एक सटीक मान की प्रायिकता 0 होती है। इसलिए हम एक वक्र, प्रायिकता घनत्व फलन (pdf), लेते हैं; दो मानों के बीच वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ही प्रायिकता है। कुल क्षेत्रफल 1 है।
प्रसामान्य वक्र के गुण
- घंटी जैसा और माध्य μ के दोनों ओर सममित।
- माध्य = माध्यिका = बहुलक, तीनों शिखर पर।
- फैलाव मानक विचलन σ से तय; नति-परिवर्तन बिंदु μ ± σ पर।
- पूँछें अक्ष के पास आती हैं पर उसे छूती नहीं।
हम लिखते हैं X ~ N(μ, σ²)। दूसरी संख्या प्रसरण (variance) है।
68–95–99.7 नियम
हर प्रसामान्य बंटन में:
- P(μ − σ < X < μ + σ) ≈ 0.68
- P(μ − 2σ < X < μ + 2σ) ≈ 0.95
- P(μ − 3σ < X < μ + 3σ) ≈ 0.997
वक्र सममित है, इसलिए हर आधे में 50% है। तो P(X > μ + σ) ≈ (1 − 0.68) ÷ 2 = 0.16।
माध्य से 3σ से ज़्यादा दूर का मान बहुत असामान्य है; इससे बाहरी मान (outlier) पहचानते हैं।
मानक प्रसामान्य बंटन और z-स्कोर
मानक प्रसामान्य Z में μ = 0, σ = 1: Z ~ N(0, 1)। किसी भी X को Z में बदलें:
z = (x − μ) ÷ σ
तालिका या कैलकुलेटर Φ(z) = P(Z < z) देता है। काम की बातें:
- P(Z > z) = 1 − Φ(z)
- Φ(−z) = 1 − Φ(z) (सममिति)
- P(a < Z < b) = Φ(b) − Φ(a)
z-स्कोर से अलग समूहों की तुलना भी होती है: μ = 70, σ = 5 वाली परीक्षा में 80 अंक (z = 2), μ = 75, σ = 10 वाली परीक्षा के 85 (z = 1) से बेहतर हैं।
जब σ पता न हो और नमूना छोटा हो, तो t-बंटन लेते हैं: यह घंटी जैसा ही है पर पूँछें मोटी होती हैं, और बड़े नमूने पर प्रसामान्य जैसा हो जाता है।
उल्टा प्रसामान्य, अज्ञात μ या σ, और द्विपद से संबंध
उल्टा प्रसामान्य (inverse normal)
प्रायिकता पता है और मान चाहिए: तालिका से z निकालें, फिर x = μ + zσ। ऊपर के 5% की सीमा: z = 1.645।
μ या σ निकालना
दी गई प्रायिकता को z में बदलें, फिर z = (x − μ)/σ हल करें। दो शर्तें हों तो μ और σ के लिए दो समीकरण बनते हैं।
द्विपद का प्रसामान्य सन्निकटन
यदि X ~ B(n, p), n बड़ा हो और np > 5, n(1 − p) > 5, तो X लगभग N(np, np(1 − p)) है। पूर्ण संख्या को सतत मान में बदलने के लिए 0.5 जोड़ें/घटाएँ (सांतत्य संशोधन): P(X ≤ 55) ≈ P(Y < 55.5)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- X ~ N(μ, σ²)
- z = (x − μ) ÷ σ
- P(X < x) = Φ(z)
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Φ(−z) = 1 − Φ(z)
- P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a)
- x = μ + zσ (उल्टा प्रसामान्य)
- B(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), सांतत्य संशोधन ± 0.5
हल किए गए उदाहरण
1. X ~ N(50, 16)। x = 58 का z-स्कोर निकालिए।
σ = √16 = 4। z = (58 − 50) ÷ 4 = 2।
2. अंक N(60, 10²) हैं। 68-95-99.7 नियम से 40 और 80 के बीच कितने प्रतिशत?
40 और 80 = μ ± 2σ, इसलिए लगभग 95%।
3. लंबाई: μ = 170 cm, σ = 8 cm। P(लंबाई > 182 cm)?
z = 12 ÷ 8 = 1.5। Φ(1.5) = 0.9332। P(X > 182) = 1 − 0.9332 = 0.0668।
4. अंक: μ = 60, σ = 10। P(55 < X < 70)?
z = −0.5 और 1। Φ(1) − Φ(−0.5) = 0.8413 − 0.3085 = 0.5328।
5. चावल के पैकेट: μ = 500 g, σ = 4 g। सबसे भारी 5% पैकेट जाँचे जाते हैं। किस द्रव्यमान से ऊपर?
ऊपर के 5% → z = 1.645। x = 500 + 1.645 × 4 = 506.58 g।
6. एक सिक्का 100 बार उछाला। प्रसामान्य सन्निकटन से P(अधिकतम 55 चित) का अनुमान लगाइए।
np = 50, σ = √(100 × 0.5 × 0.5) = 5। सांतत्य संशोधन: z = (55.5 − 50) ÷ 5 = 1.1। Φ(1.1) ≈ 0.8643।
आम गलतियाँ
- मानक विचलन की जगह प्रसरण लेना: N(50, 16) में σ = 4 है, 16 नहीं।
- "से ज़्यादा" वाले सवालों में 1 − Φ(z) भूल जाना।
- सतत चर में P(X = 170) को 0 से बड़ा मानना। यह 0 है; अंतराल लें।
- द्विपद गिनती के सन्निकटन में सांतत्य संशोधन छोड़ देना।