त्रिकोणमिति: वृत्त से तरंग तक
त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर एक बिंदु रखिए और उसे कोण θ से घुमाइए। उसकी ऊँचाई sin θ है और बगल की स्थिति cos θ। θ बढ़ने पर ऊँचाई 1 तक जाती है, फिर −1 तक और लौट आती है: एक तरंग जो हर 360° (2π रेडियन) पर दोहराती है। इसीलिए sine और cosine ध्वनि, प्रकाश और पेंडुलम के झूलने का वर्णन करते हैं।
कोण रेडियन में भी हो सकते हैं: π रेडियन = 180°। वृत्त पर हमेशा सही: sin²θ + cos²θ = 1, क्योंकि बिंदु त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर है।
कलन: अवकलज (ढलान) और समाकलन (क्षेत्रफल)
अवकलज (derivative) बताता है कि कोई चीज़ कितनी तेज़ी से बदल रही है। ग्राफ़ पर यह स्पर्श रेखा की ढलान है, वह रेखा जो वक्र को एक बिंदु पर बस छूती है। दो पास के बिंदु लीजिए, उन्हें और पास लाइए, और उन्हें जोड़ने वाली रेखा की ढलान स्पर्श रेखा की ढलान पर टिक जाती है।
शुरुआती नियम (घात नियम): अगर y = xⁿ तो dy/dx = n xⁿ⁻¹। इसलिए y = x² की ढलान 2x है और y = x²/4 की x/2।
समाकलन (integral) बहुत-सी पतली कतरनों को जोड़कर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल निकालता है। पट्टियों से: क्षेत्रफल ≈ (ऊँचाई × चौड़ाई) का योग। ज़्यादा और पतली पट्टियों से उत्तर बेहतर होता है। y = xⁿ के लिए ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)। y = x²/4 के नीचे 0 से 4 तक क्षेत्रफल 4³/12 = 5.33 है।
अवकलज और समाकलन एक-दूसरे को उलट देते हैं। यही रिश्ता कलन का मूल प्रमेय है।
ज्यामिति: आकृतियाँ और ठोस
निर्देशांक ज्यामिति में हम आकृतियों को संख्याओं से बताते हैं। (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²) है, और केंद्र (0, 0) तथा त्रिज्या r वाला वृत्त x² + y² = r² है।
ठोसों के लिए त्रिज्या r और ऊँचाई h = 2r वाला बेलन लीजिए। उतना ही बड़ा शंकु उसका एक-तिहाई भरता है और उसमें ठीक बैठने वाला गोला उसका दो-तिहाई:
V(बेलन) = πr²h, V(शंकु) = πr²h/3, V(गोला) = 4πr³/3।
आर्किमिडीज़ ने यह अनुपात 1 : 2 : 3 दो हज़ार साल से भी पहले खोजा था। 3D में आप शंकु और गोले को बेलन में उड़ेल सकते हैं: वे उसे ठीक भर देते हैं।
प्रायिकता और सांख्यिकी
प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ सभी समान रूप से संभव परिणाम। दो पासों के 6 × 6 = 36 परिणाम होते हैं। योग 7 छह तरीकों से बन सकता है (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), इसलिए P(7) = 6/36 = 1/6, जो P(2) = 1/36 से ज़्यादा है। इसीलिए बीच की पट्टी सबसे ऊँची है।
सांख्यिकी आँकड़ों का वर्णन करती है। माध्य औसत है। मानक विचलन बताता है कि मान आमतौर पर माध्य से कितने फैले होते हैं। जब बहुत-से छोटे संयोग जुड़ते हैं (जैसे दो या ज़्यादा पासे), तो नतीजों का स्तंभ-चित्र एक चिकना घंटी वक्र, यानी सामान्य बंटन, बनाता है। लगभग 68% मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर होते हैं।
करके देखिए और आगे क्या सीखें
करके देखिए: 3D में पासे 100 बार फेंकिए और देखने से पहले अंदाज़ा लगाइए कि कौन-सी पट्टी सबसे ऊँची होगी। फिर 100 बार और फेंकिए। जितना ज़्यादा फेंकेंगे, नीली पट्टियाँ नारंगी रूपरेखा से उतनी मिलेंगी।
आगे गहराई से सीखिए: इकाई वृत्त, अवकलज, समाकलन, ठोस ज्यामिति और सामान्य बंटन।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- sin²θ + cos²θ = 1; π रेडियन = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(बेलन) = πr²h; V(शंकु) = ⅓ πr²h; V(गोला) = 4⁄3 πr³
- P(घटना) = अनुकूल ÷ कुल; माध्य = योग ÷ संख्या
हल किए गए उदाहरण
1. अगर θ न्यून कोण है और cos θ = 0.6 है, तो sin θ निकालिए।
sin²θ + cos²θ = 1, इसलिए sin²θ = 1 − 0.36 = 0.64। sin θ = 0.8 (धनात्मक, क्योंकि θ न्यून है)।
2. y = 3x² + 5x की x = 2 पर ढलान निकालिए।
dy/dx = 6x + 5। x = 2 पर: 6 × 2 + 5 = 17।
3. y = x² के नीचे x = 0 से x = 3 तक क्षेत्रफल निकालिए।
क्षेत्रफल = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9।
4. 3 cm त्रिज्या वाले गोले का आयतन निकालिए।
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³।
5. दो निष्पक्ष पासे फेंके गए। योग 8 होने की प्रायिकता निकालिए।
8 बनाने के तरीके: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 36 में से 5। P = 5/36 ≈ 0.139।
6. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 का माध्य और मानक विचलन निकालिए।
माध्य = 40 ÷ 8 = 5। अंतरों के वर्ग: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 = 32। प्रसरण = 32 ÷ 8 = 4। मानक विचलन = √4 = 2।
आम गलतियाँ
- कैलकुलेटर में डिग्री और रेडियन मिला देना। पहले मोड जाँचिए।
- अवकलन करते समय घात एक घटाना भूल जाना: x³ का अवकलज 3x² है, 3x³ नहीं।
- अनिश्चित समाकलन में + C भूल जाना।
- पासों के परिणामों को 11 बराबर संभावनाएँ (योग 2 से 12) मान लेना। योग बराबर संभावना वाले नहीं हैं: 36 बराबर परिणाम होते हैं।