इकाई वृत्त क्या है?
इकाई वृत्त वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या 1 और केंद्र (0, 0) है। कोण θ को धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त (anticlockwise) मापते हैं। कोण की भुजा जहाँ वृत्त को काटती है, वह बिंदु P है।
परिभाषा: cos θ = P का x-निर्देशांक, sin θ = P का y-निर्देशांक, tan θ = y ÷ x। न्यून कोण के लिए यह आधार/कर्ण और लंब/कर्ण जैसा ही है, पर अब यह हर कोण पर काम करता है, जैसे 200° या −45°।
वृत्त का हर बिंदु x² + y² = 1 मानता है, इसलिए sin²θ + cos²θ = 1।
सटीक मान: 30°, 45°, 60° और चतुर्थांश
आधा वर्ग (45°-45°-90°) और आधा समबाहु त्रिभुज (30°-60°-90°) सटीक मान देते हैं:
- θ = π/6 (30°): P = (√3/2, 1/2)
- θ = π/4 (45°): P = (√2/2, √2/2)
- θ = π/3 (60°): P = (1/2, √3/2)
- θ = 0, π/2, π, 3π/2: P = (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1)
रेडियन: पूरा चक्कर = 2π, इसलिए 180° = π। डिग्री को π/180 से गुणा करें तो रेडियन मिलता है।
चिह्न: पहले चतुर्थांश में सब +; दूसरे में केवल sin +; तीसरे में केवल tan +; चौथे में केवल cos +।
सममिति: दर्पण कोण
वृत्त सममित है, इसलिए दर्पण बिंदु नए मान मुफ़्त में देते हैं:
- π − θ (y-अक्ष में दर्पण): sin(π − θ) = sin θ, cos(π − θ) = −cos θ
- π + θ (आधा चक्कर): sin(π + θ) = −sin θ, cos(π + θ) = −cos θ, tan(π + θ) = tan θ
- 2π − θ या −θ (x-अक्ष में दर्पण): sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ
संदर्भ कोण वह न्यून कोण है जो भुजा x-अक्ष के साथ बनाती है। पहले संदर्भ कोण का मान निकालें, फिर चतुर्थांश से चिह्न तय करें।
cos(−θ) = cos θ, इसलिए cos सम फलन है (ग्राफ़ y-अक्ष के प्रति सममित)। sin(−θ) = −sin θ, इसलिए sin विषम फलन है (ग्राफ़ मूल बिंदु के प्रति सममित)। tan भी विषम है।
आवर्तता
2π जोड़ने पर P उसी बिंदु पर लौटता है। इसलिए sin(θ + 2π) = sin θ और cos(θ + 2π) = cos θ। सबसे छोटा ऐसा खिसकाव आवर्तकाल कहलाता है: sin और cos के लिए 2π।
tan के लिए आधा चक्कर ही काफ़ी है: P और सामने वाले बिंदु का y ÷ x बराबर है, इसलिए tan का आवर्तकाल π है।
बड़े कोण सरल करें: 750° = 2 × 360° + 30°, तो sin 750° = sin 30° = 1/2।
करके देखें
3D में θ = 45°, फिर 135°, 225° और 315° रखें। हर बार (x, y) लिखें। आप देखेंगे कि √2/2 ≈ 0.71 ही आता है, बस चिह्न बदलते हैं। घर पर: ग्राफ़ पेपर पर 10 cm त्रिज्या का वृत्त बनाइए, चाँदे से 30° लगाइए और x, y नापिए। 10 से भाग दीजिए: लगभग 0.87 और 0.5 मिलेंगे।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- P = (cos θ, sin θ), tan θ = sin θ / cos θ
- sin²θ + cos²θ = 1
- sin(π − θ) = sin θ, cos(π − θ) = −cos θ
- sin(π + θ) = −sin θ, cos(π + θ) = −cos θ, tan(π + θ) = tan θ
- sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ
- sin(θ + 2π) = sin θ, cos(θ + 2π) = cos θ, tan(θ + π) = tan θ
- रेडियन = डिग्री × π / 180
हल किए गए उदाहरण
1. θ = π/3 पर इकाई वृत्त के बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
π/3 = 60°। 30-60-90 त्रिभुज से cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2। अतः P = (1/2, √3/2)।
2. sin 150° ज्ञात कीजिए।
150° = 180° − 30° (दूसरा चतुर्थांश)। संदर्भ कोण 30°। दूसरे में sin धनात्मक। sin 150° = sin 30° = 1/2।
3. cos 225° ज्ञात कीजिए।
225° = 180° + 45° (तीसरा चतुर्थांश)। वहाँ cos ऋणात्मक। cos 225° = −cos 45° = −√2/2।
4. tan(−π/4) ज्ञात कीजिए।
tan विषम है: tan(−π/4) = −tan(π/4) = −1।
5. sin(11π/6) ज्ञात कीजिए।
11π/6 = 2π − π/6 (चौथा चतुर्थांश)। वहाँ sin ऋणात्मक। sin(11π/6) = −sin(π/6) = −1/2।
6. cos 780° और tan 600° सरल कीजिए।
780° − 2 × 360° = 60°, इसलिए cos 780° = cos 60° = 1/2। tan का आवर्तकाल 180° है: 600° − 3 × 180° = 60°, इसलिए tan 600° = tan 60° = √3।
7. यदि sin θ = 3/5 और θ दूसरे चतुर्थांश में है, तो cos θ और tan θ ज्ञात कीजिए।
cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25, cos θ = ±4/5। दूसरे में cos ऋणात्मक: cos θ = −4/5। tan θ = (3/5) ÷ (−4/5) = −3/4।
आम गलतियाँ
- x और y की अदला-बदली: cos x-निर्देशांक है, sin y-निर्देशांक।
- चिह्न भूल जाना: संदर्भ कोण से मान मिलता है, चतुर्थांश से चिह्न।
- tan का आवर्तकाल 2π समझना। यह π है, क्योंकि सामने वाला बिंदु वही अनुपात देता है।
- कैलकुलेटर पर डिग्री और रेडियन मिला देना: sin दबाने से पहले मोड देखें।