फलन के रूप में आव्यूह
आव्यूह (matrix) संख्याओं का एक आयत है। 2×2 आव्यूह A = [[a, b], [c, d]] एक फलन की तरह काम करता है: इसे सदिश ⟨x, y⟩ दो, यह लौटाता है
A⟨x, y⟩ = ⟨ax + by, cx + dy⟩
हर आउटपुट भाग = आव्यूह की एक पंक्ति "गुणा" इनपुट (मिलती संख्याएँ गुणा करो, फिर जोड़ो)। ऐसे फलन को रैखिक रूपांतरण (linear transformation) कहते हैं: मूल बिंदु अपनी जगह रहता है, सीधी रेखाएँ सीधी रहती हैं, और बराबर दूरी वाली ग्रिड रेखाएँ बराबर दूरी पर रहती हैं।
स्तंभ, आम रूपांतरण और संयोजन
i = ⟨1, 0⟩ डालो: ⟨a, c⟩ मिलता है, यानी पहला स्तंभ। j = ⟨0, 1⟩ डालो: ⟨b, d⟩, यानी दूसरा स्तंभ। इसलिए आव्यूह बनाने के लिए पूछो "i कहाँ जाए?" और "j कहाँ जाए?" और उन्हें स्तंभों में लिखो।
- x में k गुना खींचना: [[k, 0], [0, 1]]
- x-अक्ष में परावर्तन: [[1, 0], [0, −1]]; रेखा y = x में: [[0, 1], [1, 0]]
- θ कोण वामावर्त घूर्णन: [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]
- अपरूपण (shear): [[1, k], [0, 1]] बिंदु को उसकी ऊँचाई के k गुना बगल में खिसकाता है
संयोजन: पहले B, फिर A = एक आव्यूह AB (पहले वाला दाईं ओर)। क्रम मायने रखता है: आमतौर पर AB ≠ BA।
सारणिक और प्रतिलोम
सारणिक det A = ad − bc। इकाई वर्ग (क्षेत्रफल 1) एक समांतर चतुर्भुज बनता है जिसका क्षेत्रफल |ad − bc| है। ऋणात्मक सारणिक का मतलब आकृति पलट भी गई।
det A ≠ 0 हो तो A का प्रतिलोम A⁻¹ होता है जो बदलाव उल्टा करता है:
A⁻¹ = (1 ÷ (ad − bc)) × [[d, −b], [−c, a]]
a और d की जगह बदलो, b और c के चिह्न बदलो, फिर सारणिक से भाग दो। det A = 0 हो तो पूरा तल एक रेखा (या बिंदु) पर दब जाता है, जानकारी खो जाती है, और प्रतिलोम नहीं होता।
आव्यूह से असली स्थितियों का मॉडल
संक्रमण आव्यूह बताता है कि एक समय-कदम में चीज़ें एक अवस्था से दूसरी में कैसे जाती हैं। उदाहरण: हर साल शहर A के 90% लोग वहीं रहते हैं और 10% B जाते हैं; B के 70% रहते हैं और 30% A आते हैं। हिस्सों को पंक्ति ⟨A, B⟩ में लिखो:
अगला = ⟨A, B⟩ × [[0.9, 0.1], [0.3, 0.7]] = ⟨0.9A + 0.3B, 0.1A + 0.7B⟩
⟨0.5, 0.5⟩ से शुरू: साल 1 में ⟨0.6, 0.4⟩, साल 2 में ⟨0.66, 0.34⟩, और धीरे-धीरे ⟨0.75, 0.25⟩ पर टिक जाते हैं। यह स्थायी अवस्था (steady state) है जिसे आव्यूह नहीं बदलता। एक साल पीछे जाने के लिए प्रतिलोम से गुणा करो।
करके देखो: 3D चरण 5 में "अगला वर्ष" बार-बार दबाओ, और दबाने से पहले अगली ऊँचाई का अनुमान लगाओ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- [[a, b], [c, d]]⟨x, y⟩ = ⟨ax + by, cx + dy⟩
- स्तंभ 1 = ⟨1, 0⟩ का प्रतिबिंब; स्तंभ 2 = ⟨0, 1⟩ का प्रतिबिंब
- θ घूर्णन: [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]]
- det A = ad − bc = क्षेत्रफल गुणक
- A⁻¹ = (1/(ad − bc)) [[d, −b], [−c, a]]
- पहले B फिर A = AB (क्रम मायने रखता है)
हल किए गए उदाहरण
1. A = [[3, −1], [2, 4]]। A⟨2, 1⟩ निकालो।
ऊपर: 3·2 + (−1)·1 = 5। नीचे: 2·2 + 4·1 = 8। उत्तर ⟨5, 8⟩।
2. वह आव्यूह लिखो जो i को ⟨2, 1⟩ और j को ⟨−1, 3⟩ पर भेजे।
प्रतिबिंब ही स्तंभ हैं: [[2, −1], [1, 3]]।
3. 90° वामावर्त घूर्णन का आव्यूह निकालो और ⟨3, 1⟩ पर लगाओ।
[[0, −1], [1, 0]]। ⟨3, 1⟩ → ⟨−1, 3⟩।
4. क्षेत्रफल 6 वाले त्रिभुज पर [[2, 1], [1, 3]] लगाया। नया क्षेत्रफल?
det = 6 − 1 = 5। नया क्षेत्रफल = 5 × 6 = 30।
5. A = [[4, 7], [2, 6]] का प्रतिलोम निकालो।
det = 24 − 14 = 10। A⁻¹ = (1/10)[[6, −7], [−2, 4]] = [[0.6, −0.7], [−0.2, 0.4]]।
6. शहर आव्यूह [[0.9, 0.1], [0.3, 0.7]] और शुरुआती हिस्से ⟨0.6, 0.4⟩। अगले साल के हिस्से?
A: 0.54 + 0.12 = 0.66। B: 0.06 + 0.28 = 0.34। अगला साल ⟨0.66, 0.34⟩।
आम गलतियाँ
- पंक्तियों को i और j का प्रतिबिंब मान लेना। प्रतिबिंब स्तंभ होते हैं।
- संयोजन का क्रम उल्टा लिखना: "पहले B फिर A" = AB, BA नहीं।
- प्रतिलोम में b और c की जगह बदल देना। a और d की जगह बदलती है; b और c का सिर्फ़ चिह्न बदलता है।
- भूल जाना कि det = 0 पर प्रतिलोम नहीं होता, या ऋणात्मक सारणिक पर क्षेत्रफल के लिए |det| न लेना।