घटक रूप में सदिश
सदिश (vector) वह राशि है जिसमें माप और दिशा दोनों हों। इसे तीर से दिखाते हैं। तल में इसे घटक रूप में लिखते हैं: v = ⟨a, b⟩ यानी x की ओर a कदम और y की ओर b कदम। इसे ai + bj भी लिखते हैं, जहाँ i = ⟨1, 0⟩ और j = ⟨0, 1⟩।
- परिमाण (लंबाई): |v| = √(a² + b²)। यह पाइथागोरस ही है।
- दिशा कोण θ (धनात्मक x-अक्ष से): tan θ = b ÷ a, फिर चतुर्थांश जाँचो।
- मात्रक सदिश (लंबाई 1, वही दिशा): v ÷ |v|।
- लंबाई और कोण से घटक: v = ⟨|v| cos θ, |v| sin θ⟩।
बिंदु A(x₁, y₁) से B(x₂, y₂) तक का सदिश = ⟨x₂ − x₁, y₂ − y₁⟩ (अंत घटा शुरुआत)।
जोड़, अदिश गुणा और अदिश गुणनफल
जोड़: ⟨a, b⟩ + ⟨c, d⟩ = ⟨a + c, b + d⟩। चित्र में दूसरे तीर की पूँछ पहले तीर के सिरे पर रखो।
अदिश से गुणा: k⟨a, b⟩ = ⟨ka, kb⟩। k ऋणात्मक हो तो तीर उलट जाता है।
अदिश गुणनफल (dot product): ⟨a, b⟩ · ⟨c, d⟩ = ac + bd। यह एक संख्या है, सदिश नहीं। यह |u||v| cos θ के बराबर भी है, जहाँ θ दोनों सदिशों के बीच का कोण है। इसलिए:
- cos θ = (u · v) ÷ (|u||v|)
- u · v = 0 हो तो सदिश लंबवत हैं।
सदिश-मान फलन और प्राचलिक रास्ते
सदिश-मान फलन एक इनपुट t (अक्सर समय) लेकर एक सदिश देता है: p(t) = ⟨x(t), y(t)⟩। हर आउटपुट की पूँछ मूल बिंदु पर रखो, तो सिरा बिंदु (x(t), y(t)) पर होगा। t बदलने पर सिरा एक वक्र बनाता है। यह वही वक्र है जो प्राचलिक समीकरण x = x(t), y = y(t) बनाते हैं।
हर भाग को अलग से देख सकते हो: x(t) कब बढ़ रहा है? y(t) कब शून्य है? इससे पता चलता है कि बिंदु कब दाएँ जा रहा है या कब x-अक्ष पार करता है।
उदाहरण: ⟨3 cos t, 3 sin t⟩ त्रिज्या 3 का वृत्त है; ⟨t, t²⟩ परवलय है; ⟨1 + 2t, 3 − t⟩ सीधी रेखा है।
वेग, चाल और औसत परिवर्तन दर
t = a से t = b तक p की औसत परिवर्तन दर = (p(b) − p(a)) ÷ (b − a)। यह पुरानी जगह से नई जगह की ओर इशारा करता सदिश है।
अंतर को बहुत छोटा करो तो वेग सदिश v(t) = ⟨x′(t), y′(t)⟩ मिलता है। यह रास्ते की स्पर्शरेखा पर है और गति की दिशा बताता है।
चाल = |v(t)| = √(x′(t)² + y′(t)²)। चाल एक संख्या है; वेग एक सदिश है।
करके देखो: खेल वाले चरण में वृत्त चुनो और t खिसकाओ। चाल 3 ही रहती है, पर नारंगी वेग तीर घूमता रहता है। अब परवलय चुनो: ऊपर चढ़ते हुए चाल बढ़ती है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- |⟨a, b⟩| = √(a² + b²)
- मात्रक सदिश = v ÷ |v|
- v = ⟨|v| cos θ, |v| sin θ⟩
- ⟨a, b⟩ + ⟨c, d⟩ = ⟨a + c, b + d⟩; k⟨a, b⟩ = ⟨ka, kb⟩
- u · v = ac + bd = |u||v| cos θ
- p(t) = ⟨x(t), y(t)⟩; v(t) = ⟨x′(t), y′(t)⟩; चाल = |v(t)|
हल किए गए उदाहरण
1. v = ⟨3, 4⟩ का परिमाण और दिशा कोण निकालो।
|v| = √(9 + 16) = 5। tan θ = 4/3, तो θ ≈ 53.1° (पहला चतुर्थांश, दोनों घटक धनात्मक)।
2. u = ⟨2, −1⟩, v = ⟨−3, 5⟩। 2u + v निकालो।
2u = ⟨4, −2⟩। 2u + v = ⟨4 − 3, −2 + 5⟩ = ⟨1, 3⟩।
3. ⟨−6, 8⟩ की दिशा में मात्रक सदिश निकालो।
लंबाई = √(36 + 64) = 10। मात्रक सदिश = ⟨−0.6, 0.8⟩।
4. u = ⟨1, 2⟩ और v = ⟨4, −2⟩ के बीच कोण निकालो।
u · v = 4 − 4 = 0, तो cos θ = 0 और θ = 90°। सदिश लंबवत हैं।
5. p(t) = ⟨t², 2t⟩। t = 3 पर स्थिति और t = 1 से 3 तक औसत परिवर्तन दर निकालो।
p(3) = ⟨9, 6⟩, p(1) = ⟨1, 2⟩। औसत दर = ⟨8, 4⟩ ÷ 2 = ⟨4, 2⟩।
6. p(t) = ⟨3 cos t, 3 sin t⟩। किसी भी t पर वेग और चाल निकालो।
v(t) = ⟨−3 sin t, 3 cos t⟩। चाल = √(9 sin²t + 9 cos²t) = 3। दिशा बदलती है, पर चाल स्थिर रहती है।
आम गलतियाँ
- लंबाइयाँ जोड़ देना: |u + v| आमतौर पर |u| + |v| नहीं होता। पहले घटक जोड़ो, फिर लंबाई निकालो।
- चतुर्थांश जाँचे बिना tan⁻¹(b/a) लिखना। ⟨−3, −3⟩ का कोण 225° है, 45° नहीं।
- A से B का सदिश शुरुआत घटा अंत लिखना। सही है अंत घटा शुरुआत: B − A।
- वेग और चाल को एक मानना। वेग सदिश ⟨x′, y′⟩ है; चाल उसकी लंबाई है, जो कभी ऋणात्मक नहीं होती।