प्राचलिक समीकरण क्या है?
आम तौर पर वक्र y को x के रूप में लिखते हैं, जैसे y = x²। प्राचलिक रूप में x और y दोनों को एक तीसरे चर, प्राचल t से लिखते हैं:
x = f(t), y = g(t)।
t का कोई मान लें, x और y निकालें, बिंदु अंकित करें। t के क्रम में बिंदुओं को जोड़ें तो वक्र बनता है। यह क्रम वक्र को दिशा भी देता है: t बढ़ने पर बिंदु किस ओर चलता है।
उदाहरण: x = t, y = t², −2 ≤ t ≤ 2 से बिंदु (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) मिलते हैं: एक परवलय।
कार्तीय रूप में बदलना
साधारण (कार्तीय) समीकरण पाने के लिए t का विलोपन करें:
- एक समीकरण से t निकालें और दूसरे में रखें। x = 2t, y = 4t − t² → t = x/2 → y = 2x − x²/4।
- त्रिकोणमितीय रूप में सर्वसमिका लगाएँ। x = 3cos t, y = 3sin t → x² + y² = 9(cos²t + sin²t) = 9, त्रिज्या 3 का वृत्त।
काम के मानक रूप: वृत्त x = a cos t, y = a sin t; दीर्घवृत्त x = a cos t, y = b sin t; परवलय x = at², y = 2at। t हटाने के बाद x और y की सीमा भी ध्यान रखें (जैसे x = t² कभी ऋणात्मक नहीं)।
प्राचलिक समीकरणों का अवकलन
प्रथम अवकलज: dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt), जब dx/dt ≠ 0।
- dy/dt = 0 (और dx/dt ≠ 0): क्षैतिज स्पर्श रेखा।
- dx/dt = 0 (और dy/dt ≠ 0): ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा।
द्वितीय अवकलज: d²y/dx² = [dy/dx का t से अवकलज] ÷ (dx/dt)। d²y/dt² को d²x/dt² से भाग देना एक आम ग़लती है।
किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा: t से बिंदु निकालें, उस t पर ढाल m = dy/dx निकालें, फिर y − y₁ = m(x − x₁) लगाएँ। अभिलंब का ढाल −1/m।
गति और चाप लंबाई
t समय हो तो स्थिति r(t) = (x(t), y(t)) है।
- वेग v = (dx/dt, dy/dt)।
- चाल = |v| = √((dx/dt)² + (dy/dt)²)।
- त्वरण a = (d²x/dt², d²y/dt²)।
t = a से t = b तक चाप लंबाई (वक्र पर तय दूरी):
L = ∫ₐᵇ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt।
वृत्त x = 3cos t, y = 3sin t की चाल हमेशा 3 है, इसलिए 0 से 2π तक लंबाई 3 × 2π = 6π, यानी परिधि। ध्रुवीय वक्र r = f(θ) भी एक विशेष स्थिति है: x = r cos θ, y = r sin θ।
करके देखें: हाथ से प्राचलिक वक्र बनाएँ
x = t + 1, y = 2t − 1 के लिए t = 0, 1, 2, 3 की सारणी बनाएँ। बिंदु अंकित करके जोड़ें। अनुमान लगाएँ: कौन-सी आकृति बनेगी? (सरल रेखा; t हटाने पर y = 2x − 3।) फिर आख़िरी चरण में परवलय और गेंद के लिए t खिसकाकर अपने अनुमान जाँचें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- x = f(t), y = g(t): हर t से एक बिंदु (x, y)
- dy/dx = (dy/dt) ÷ (dx/dt), dx/dt ≠ 0
- d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt)
- वृत्त: x = a cos t, y = a sin t; दीर्घवृत्त: x = a cos t, y = b sin t
- चाल = √((dx/dt)² + (dy/dt)²)
- चाप लंबाई L = ∫ₐᵇ √((dx/dt)² + (dy/dt)²) dt
हल किए गए उदाहरण
1. x = 2t − 1, y = t + 3। कार्तीय समीकरण ज्ञात करें।
y से: t = y − 3। रखने पर: x = 2(y − 3) − 1 = 2y − 7। अतः x = 2y − 7, यानी y = (x + 7)/2, एक सरल रेखा।
2. x = 4cos t, y = 2sin t। कार्तीय समीकरण ज्ञात करें।
cos t = x/4 और sin t = y/2। cos²t + sin²t = 1 से: x²/16 + y²/4 = 1। अर्ध-अक्ष 4 और 2 वाला दीर्घवृत्त।
3. x = t², y = t³। t = 2 पर dy/dx ज्ञात करें।
dx/dt = 2t, dy/dt = 3t²। dy/dx = 3t² ÷ 2t = 3t/2। t = 2 पर: dy/dx = 3।
4. x = t², y = t³ के लिए d²y/dx² ज्ञात करें।
dy/dx = 3t/2। d/dt(3t/2) = 3/2। dx/dt = 2t से भाग दें: d²y/dx² = (3/2) ÷ (2t) = 3/(4t)।
5. x = t², y = 2t की t = 1 पर स्पर्श रेखा ज्ञात करें।
बिंदु: (1, 2)। dx/dt = 2t = 2, dy/dt = 2, ढाल = 1। स्पर्श रेखा: y − 2 = 1(x − 1), अर्थात y = x + 1।
6. एक कण x = 3t, y = 4t (मीटर, सेकंड) से चलता है। उसकी चाल और t = 0 से t = 2 तक तय दूरी ज्ञात करें।
dx/dt = 3, dy/dt = 4। चाल = √(9 + 16) = 5 m/s। चाप लंबाई = ∫₀² 5 dt = 10 m।
7. x = cos t, y = sin t की t = 0 से t = π/2 तक चाप लंबाई ज्ञात करें।
dx/dt = −sin t, dy/dt = cos t। √(sin²t + cos²t) = 1। L = ∫₀^(π/2) 1 dt = π/2 ≈ 1.57 (इकाई वृत्त का चौथाई)।
आम गलतियाँ
- dy/dx = (dx/dt) ÷ (dy/dt) लिखना। y की दर ऊपर आती है: dy/dx = ẏ ÷ ẋ।
- d²y/dx² को (d²y/dt²) ÷ (d²x/dt²) निकालना। सही: dy/dx का t से अवकलन करें, फिर dx/dt से भाग दें।
- t हटाने के बाद x और y की सीमा भूल जाना (x = t² से केवल x ≥ 0)।
- चाल के सूत्र में वर्गमूल या दोनों दरों का वर्ग करना भूल जाना।