परिक्रमण ठोस क्या है?
एक सपाट आकृति लीजिए। उसके पास एक सीधी रेखा रखिए। यह रेखा अक्ष है। अब आकृति को अक्ष के चारों ओर पूरा एक चक्कर (360°) घुमाइए। आकृति का हर बिंदु एक वृत्त बनाता है। ये सब वृत्त मिलकर एक ठोस बनाते हैं। इसे परिक्रमण ठोस कहते हैं।
- आयत को एक भुजा पर घुमाने से → बेलन।
- समकोण त्रिभुज को एक भुजा पर घुमाने से → शंकु।
- अर्धवृत्त को व्यास पर घुमाने से → गोला।
- समकोण समलंब को सीधी भुजा पर घुमाने से → छिन्नक।
अक्ष से होकर काटने पर मूल आकृति दो बार (दर्पण की तरह) दिखती है। अक्ष के लंबवत काटने पर हमेशा वृत्त मिलता है।
बेलन और शंकु
बेलन के दो बराबर वृत्ताकार सिरे होते हैं, त्रिज्या r और ऊँचाई h।
- आयतन V = πr²h (आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई)।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh, कुल = 2πr(r + h)।
शंकु का एक वृत्ताकार आधार और एक शीर्ष होता है। तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²)।
- आयतन V = ⅓πr²h।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl, कुल = πr(l + r)।
1/3 क्यों?
शंकु में पानी भरकर उसी r और h वाले बेलन में डालिए। बेलन भरने में तीन शंकु लगते हैं।
गोला, ठोस गोला और छिन्नक
गोला बाहरी सतह है; अंदर का भरा भाग ठोस गोला है। त्रिज्या r के लिए:
- आयतन V = ⁴⁄₃πr³।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 4πr²।
- अर्धगोला: V = ⅔πr³, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr²।
छिन्नक: शंकु को आधार के समांतर काटकर ऊपर का भाग हटाने पर बचा भाग। बड़ी त्रिज्या R, छोटी r, ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + (R − r)²):
- V = ⅓πh(R² + Rr + r²)।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = π(R + r)l।
ठोसों का संयोजन
कई चीज़ें दो या ज़्यादा ठोसों से बनी होती हैं: कैप्सूल (बेलन + दो अर्धगोले), आइसक्रीम (शंकु + अर्धगोला), तंबू (बेलन + शंकु)।
- वस्तु को सरल ठोसों में बाँटिए।
- हर एक का आयतन निकालकर जोड़िए (कटे भाग का घटाइए)।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल में सिर्फ़ बाहर की सतह जोड़िए; जुड़े हुए फलक नहीं।
कलन से आयतन: डिस्क विधि
वक्र y = f(x) को x = a से x = b तक x-अक्ष पर घुमाइए। ठोस को पतली चकतियों (डिस्क) में काटिए। एक डिस्क की त्रिज्या y और मोटाई dx है, आयतन πy²dx। सबको जोड़िए:
V = π ∫ₐᵇ y² dx
y-अक्ष पर घुमाने पर V = π∫x² dy। बीच में छेद हो (बाहरी y₁, भीतरी y₂) तो वॉशर विधि: V = π∫(y₁² − y₂²) dx।
जाँच: y = r लेने पर πr²h (बेलन), y = (r/h)x लेने पर ⅓πr²h (शंकु)।
[a, b] पर f का माध्य मान = (1/(b − a))∫ₐᵇ f(x) dx।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- बेलन: V = πr²h, CSA = 2πrh
- शंकु: V = ⅓πr²h, l = √(r² + h²), CSA = πrl
- गोला: V = ⁴⁄₃πr³, A = 4πr²
- छिन्नक: V = ⅓πh(R² + Rr + r²), CSA = π(R + r)l
- डिस्क विधि: V = π∫ y² dx
- वॉशर विधि: V = π∫ (y₁² − y₂²) dx
हल किए गए उदाहरण
1. 3 cm × 5 cm के आयत को 5 cm वाली भुजा पर घुमाया गया। आयतन ज्ञात कीजिए।
5 cm भुजा अक्ष है, तो h = 5, r = 3। V = π × 9 × 5 = 45π ≈ 141.4 cm³।
2. 6 cm और 8 cm भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज को 8 cm भुजा पर घुमाया गया। आयतन और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल?
शंकु: r = 6, h = 8। V = ⅓π × 36 × 8 = 96π ≈ 301.6 cm³। l = √(36 + 64) = 10। CSA = π × 6 × 10 = 60π ≈ 188.5 cm²।
3. 3 cm त्रिज्या का अर्धवृत्त व्यास पर घूमता है। आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल?
गोला, r = 3। V = ⁴⁄₃π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³। A = 4π × 9 = 36π ≈ 113.1 cm²।
4. एक बाल्टी छिन्नक है: त्रिज्याएँ 15 cm और 10 cm, ऊँचाई 24 cm। इसमें कितने लीटर आएँगे?
V = ⅓π × 24 × (225 + 150 + 100) = 3800π ≈ 11 938 cm³ ≈ 11.9 लीटर (1 लीटर = 1000 cm³)।
5. एक कैप्सूल में 10 mm लंबा बेलन और दोनों सिरों पर 3 mm त्रिज्या के अर्धगोले हैं। आयतन?
दो अर्धगोले = एक गोला: 36π। बेलन: π × 9 × 10 = 90π। कुल = 126π ≈ 395.8 mm³।
6. y = √x, 0 ≤ x ≤ 4 को x-अक्ष पर घुमाने से बने ठोस का आयतन?
V = π∫₀⁴ x dx = π[x²/2]₀⁴ = 8π ≈ 25.1 घन इकाई।
आम गलतियाँ
- V = ⅓πr²h में ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h की जगह तिर्यक ऊँचाई l लगा देना। आयतन में हमेशा h आता है।
- कौन-सी भुजा अक्ष है, यह गड़बड़ करना। अक्ष पर पड़ी भुजा ऊँचाई बनती है, दूसरी भुजा त्रिज्या।
- डिस्क विधि में y का वर्ग भूल जाना: सही है π∫y² dx।
- संयुक्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालते समय जुड़े हुए फलक भी गिन लेना।