बहुफलक क्या है? फलक, किनारे और शीर्ष
बहुफलक ऐसा बंद ठोस है जिसकी पूरी सतह समतल बहुभुजों से बनी है। हर समतल बहुभुज एक फलक (face) है। दो फलक एक सीधी रेखा पर मिलते हैं, उसे किनारा (edge) कहते हैं। किनारे जिस कोने पर मिलते हैं, वह शीर्ष (vertex) है।
गेंद या डिब्बा-नुमा कैन बहुफलक नहीं हैं, क्योंकि उनकी सतह का कुछ भाग वक्र है।
बहुफलक उत्तल (convex) है यदि उसके किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड अंदर ही रहे (कोई गड्ढा नहीं)। विकर्ण उन दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक पर न हों। एक शीर्ष पर मिलने वाले फलक बहुफलकीय कोण बनाते हैं; एक किनारे पर दो फलकों के बीच का कोण द्वितल कोण (dihedral angle) है।
मुख्य बात: उत्तल बहुफलक के हर शीर्ष पर फलकों के कोणों का योग 360° से कम होता है।
प्रिज़्म और समांतर षट्फलक
प्रिज़्म के दो बराबर, समांतर बहुभुज आधार होते हैं। पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं। नाम आधार से: त्रिभुजाकार प्रिज़्म, पंचभुजाकार प्रिज़्म आदि।
- लंब प्रिज़्म: पार्श्व किनारे आधार पर लंब, इसलिए पार्श्व फलक आयत।
- तिर्यक प्रिज़्म: पार्श्व किनारे झुके हुए।
- सम प्रिज़्म: लंब प्रिज़्म जिसका आधार सम बहुभुज हो।
n भुजा वाले आधार से: F = n + 2, E = 3n, V = 2n।
समांतर षट्फलक (parallelepiped) वह प्रिज़्म है जिसके सभी 6 फलक समांतर चतुर्भुज हैं। घनाभ में सभी फलक आयत हैं; उसका विकर्ण d = √(a² + b² + c²)। घन में d = a√3।
पिरामिड, सम पिरामिड और छिन्नक
पिरामिड का एक बहुभुज आधार होता है और त्रिभुजाकार पार्श्व फलक एक बिंदु, शीर्ष-बिंदु (apex), पर मिलते हैं। ऊँचाई शीर्ष-बिंदु से आधार तक की लंब दूरी है।
n भुजा वाले आधार से: F = n + 1, E = 2n, V = n + 1।
सम पिरामिड का आधार सम बहुभुज होता है और शीर्ष-बिंदु आधार के केंद्र के ठीक ऊपर। सभी पार्श्व फलक बराबर समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। एक पार्श्व त्रिभुज की ऊँचाई तिर्यक ऊँचाई l है। वर्ग पिरामिड में: l = √(h² + (a/2)²)।
चतुष्फलक त्रिभुजाकार पिरामिड है। विशेष: सम चतुष्फलक के चारों फलक समबाहु त्रिभुज; समकोणीय चतुष्फलक में एक शीर्ष पर तीन किनारे आपस में लंब होते हैं, डिब्बे के कोने की तरह।
छिन्नक (frustum): पिरामिड का ऊपरी भाग आधार के समांतर तल से काटने पर बचा भाग। इसके दो समांतर, समरूप आधार और समलंब पार्श्व फलक होते हैं।
ऑयलर सूत्र: V − E + F = 2
लियोनहार्ड ऑयलर ने 1750 में देखा कि हर उत्तल बहुफलक के लिए V − E + F = 2।
| ठोस | V | E | F | V − E + F |
|---|---|---|---|---|
| घन | 8 | 12 | 6 | 2 |
| त्रिभुजाकार प्रिज़्म | 6 | 9 | 5 | 2 |
| वर्ग पिरामिड | 5 | 8 | 5 | 2 |
| षट्भुजाकार प्रिज़्म | 12 | 18 | 8 | 2 |
इससे कोई छूटी संख्या निकालिए, या जाँचिए कि दिए V, E, F वाला ठोस बन सकता है या नहीं। जिस ठोस में आर-पार छेद हो (जैसे फोटो फ़्रेम), वहाँ यह 0 देता है।
सम बहुफलक: पाँच प्लेटोनिक ठोस
बहुफलक सम है जब सभी फलक बराबर सम बहुभुज हों और हर शीर्ष पर उतने ही फलक मिलें। ऐसे ठीक पाँच हैं:
| ठोस | फलक | हर शीर्ष पर | V | E | F |
|---|---|---|---|---|---|
| चतुष्फलक | त्रिभुज | 3 | 4 | 6 | 4 |
| घन | वर्ग | 3 | 8 | 12 | 6 |
| अष्टफलक | त्रिभुज | 4 | 6 | 12 | 8 |
| द्वादशफलक | पंचभुज | 3 | 20 | 30 | 12 |
| विंशतिफलक | त्रिभुज | 5 | 12 | 30 | 20 |
केवल पाँच क्यों? एक शीर्ष पर कम से कम 3 फलक चाहिए और उनके कोणों का योग 360° से कम होना चाहिए। त्रिभुज (60°): 3, 4 या 5 चलते हैं; 6 से 360° होकर सपाट। वर्ग (90°): केवल 3। पंचभुज (108°): केवल 3। षट्भुज (120°): 3 से ही 360°। इसलिए केवल 5।
डिज़ाइन में: घन और चतुष्फलक मज़बूत ढाँचे देते हैं; जियोडेसिक गुंबद और कई वायरस के खोल विंशतिफलक पर आधारित हैं।
करके देखिए: जाल (net) से घन और चतुष्फलक बनाइए
कार्ड पर छह बराबर वर्ग क्रॉस के आकार में बनाइए, काटिए, रेखाओं पर मोड़िए और टेप लगाइए: घन तैयार। फलक, किनारे, शीर्ष गिनकर V − E + F = 2 जाँचिए। फिर एक बड़े समबाहु त्रिभुज को चार छोटे त्रिभुजों में बाँटकर कोने ऊपर मोड़िए: चतुष्फलक। गिनने से पहले अनुमान लगाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ऑयलर (उत्तल बहुफलक): V − E + F = 2
- n-भुज आधार वाला प्रिज़्म: F = n + 2, E = 3n, V = 2n
- n-भुज आधार वाला पिरामिड: F = n + 1, E = 2n, V = n + 1
- घनाभ का विकर्ण: d = √(a² + b² + c²); घन: d = a√3
- सम वर्ग पिरामिड: तिर्यक ऊँचाई l = √(h² + (a/2)²), पार्श्व किनारा = √(h² + a²/2)
हल किए गए उदाहरण
1. पंचभुज आधार वाले प्रिज़्म के F, E, V निकालिए और ऑयलर सूत्र जाँचिए।
n = 5। F = 7, E = 15, V = 10। 10 − 15 + 7 = 2 ✓
2. एक बहुफलक के 12 शीर्ष और 30 किनारे हैं। फलक कितने हैं?
12 − 30 + F = 2 → F = 20 (विंशतिफलक हो सकता है)।
3. एक पिरामिड के 10 किनारे हैं। आधार कैसा है और फलक कितने?
2n = 10 → n = 5, आधार पंचभुज। F = n + 1 = 6।
4. घनाभ 3 cm × 4 cm × 12 cm का है। विकर्ण निकालिए।
d = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 cm।
5. सम वर्ग पिरामिड: आधार भुजा 6 cm, ऊँचाई 4 cm। तिर्यक ऊँचाई और पार्श्व किनारा?
l = √(4² + 3²) = 5 cm। पार्श्व किनारा = √(16 + 18) = √34 ≈ 5.83 cm।
6. दिखाइए कि कोई सम बहुफलक षट्भुज फलकों से नहीं बन सकता।
सम षट्भुज का हर कोण 120°। कम से कम 3 फलक: 3 × 120° = 360°, यानी सपाट। ठोस कोने के लिए योग 360° से कम चाहिए, इसलिए असंभव।
आम गलतियाँ
- पीछे छिपे किनारे दो बार गिनना या छोड़ देना। किनारे = (सभी फलकों की भुजाओं का योग) ÷ 2।
- बेलन या शंकु को बहुफलक कहना। इनकी सतह वक्र है।
- पिरामिड की ऊँचाई और तिर्यक ऊँचाई को एक समझना।
- यह सोचना कि छिन्नक किसी भी तल से कटता है। कटने वाला तल आधार के समांतर होना चाहिए।