सम बहुफलकों की सममिति

ठोस की सममिति क्या है?

एक घन को ऐसे डिब्बे में रखा सोचिए जो उसमें ठीक बैठता है। सममिति घन की कोई भी ऐसी चाल है जिसके बाद वह फिर उसी डिब्बे को भर दे: कोने कोनों पर और कोरें कोरों पर।

ठोसों की सममिति तीन तरह की होती है:

• तल (दर्पण) सममिति: ठोस को उसके बीच से गुज़रते तल में परावर्तित करना। हर बिंदु दूसरी ओर अपने दर्पण-प्रतिबिंब पर चला जाता है।
• अक्षीय (घूर्णन) सममिति: ठोस को एक रेखा (अक्ष) पर किसी कोण से घुमाना।
• केंद्रीय सममिति: हर बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) के दूसरी ओर उतनी ही दूरी वाले बिंदु पर जाता है।

कुछ न करना भी एक सममिति गिनी जाती है (तत्समक)। जितनी ज़्यादा सममितियाँ, ठोस उतना नियमित।

सममिति तल (दर्पण-तल)

सममिति तल ठोस को दो ऐसे आधे हिस्सों में काटता है जो एक-दूसरे के दर्पण-प्रतिबिंब हों।

• घन: फलकों के समांतर 3 तल (बीच से) और दो आमने-सामने की कोरों से गुज़रते 6 तल। कुल 9।
• अष्टफलक: भी 9।
• सम चतुष्फलक: हर तल में एक कोर और सामने वाली कोर का मध्य बिंदु होता है। 6 कोरें हैं, इसलिए 6 तल।
• द्वादशफलक और विंशतिफलक: 15 तल।

जो ठोस नियमित नहीं है उसमें कम तल होते हैं। वर्ग-आधार पिरामिड में केवल 4 तल हैं और साधारण डिब्बे (घनाभ) में 3।

घूर्णन अक्ष

अगर किसी रेखा पर 360° ÷ n घुमाने पर ठोस फिर बैठ जाए, तो वह रेखा n-गुना अक्ष (n कोटि का अक्ष) है। 360° घुमाने पर तो हर ठोस वापस आ जाता है, इसलिए सवाल यह है: सबसे छोटा घुमाव कितना है?

• घन: 3 चार-गुना अक्ष (आमने-सामने के फलक-केंद्रों से, घुमाव 90°), 4 तीन-गुना अक्ष (आमने-सामने के कोनों से, घुमाव 120°), 6 दो-गुना अक्ष (आमने-सामने की कोरों के मध्य से, घुमाव 180°)।
• अष्टफलक: यही संख्याएँ, पर चार-गुना अक्ष आमने-सामने के कोनों से और तीन-गुना अक्ष आमने-सामने के फलकों से गुज़रते हैं।
• चतुष्फलक: 4 तीन-गुना अक्ष (कोने से सामने वाले फलक के मध्य तक) और 3 दो-गुना अक्ष (आमने-सामने की कोरों के मध्य से)।
• द्वादशफलक और विंशतिफलक: 6 पाँच-गुना, 10 तीन-गुना और 15 दो-गुना अक्ष।

कितने अलग घुमाव फिट होते हैं? n-गुना अक्ष से "कुछ न करने" के अलावा n − 1 घुमाव मिलते हैं। कुछ न करने का एक जोड़िए।
चतुष्फलक: 1 + 4×2 + 3×1 = 12। घन: 1 + 3×3 + 4×2 + 6×1 = 24। विंशतिफलक: 1 + 6×4 + 10×2 + 15×1 = 60।

सममिति केंद्र

बिंदु O सममिति केंद्र है अगर ठोस के हर बिंदु P के लिए, O के दूसरी ओर उतनी ही दूरी पर स्थित बिंदु P′ भी ठोस पर हो। यानी O हर रेखाखंड PP′ का मध्य बिंदु है।

• घन, अष्टफलक, द्वादशफलक, विंशतिफलक: हाँ। हर कोने का एक सामने वाला कोना है।
• सम चतुष्फलक: नहीं। कोने का सामने वाला बिंदु सामने के फलक का मध्य है, जो कोना नहीं है।

जिस ठोस में केंद्र होता है उसका हर फलक किसी सामने वाले फलक के समांतर होता है। चतुष्फलक में समांतर फलकों की कोई जोड़ी नहीं है।

पाँचों ठोस साथ-साथ

घन और अष्टफलक एक जैसे क्यों हैं? ये द्वैती (dual) हैं: घन के फलकों के केंद्र जोड़ने पर अष्टफलक मिलता है और उलटा भी। द्वैती जोड़ी की सममिति एक जैसी होती है। द्वादशफलक और विंशतिफलक दूसरी द्वैती जोड़ी हैं। चतुष्फलक अपना ही द्वैती है।

करके देखिए। 3D में विंशतिफलक के तल दिखाइए, फिर द्वादशफलक पर जाइए। तल हिलते नहीं। अब घन पर तीनों तरह के अक्ष गिनिए और सारणी की संख्याओं से मिलाइए।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• n-गुना अक्ष: सबसे छोटा घुमाव = 360° ÷ n
• चतुष्फलक: 6 तल; अक्ष 4×3, 3×2; केंद्र नहीं; 12 घुमाव
• घन / अष्टफलक: 9 तल; अक्ष 3×4, 4×3, 6×2; केंद्र है; 24 घुमाव
• द्वादशफलक / विंशतिफलक: 15 तल; अक्ष 6×5, 10×3, 15×2; केंद्र है; 60 घुमाव
• फिट होने वाले घुमाव = 1 + सब अक्षों के (n − 1) का जोड़
• कुल सममितियाँ (घुमाव और दर्पण-चालें) = घुमावों की संख्या × 2

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• घन के 6 सममिति तल कह देना (केवल फलकों के समांतर वाले)। आमने-सामने की कोरों से गुज़रते 6 तिरछे तल भी गिनिए: कुल 9।
• हर अक्ष को दो बार गिनना, हर सिरे के लिए एक बार। अक्ष पूरी रेखा है जो दोनों सिरों से गुज़रती है।
• घन में 45° का घुमाव सममिति मान लेना। फलक-अक्ष पर 45° के बाद कोने कोनों पर नहीं बैठते।
• हर सम ठोस में सममिति केंद्र मान लेना। चतुष्फलक में नहीं होता।