अंतरिक्ष में विषमतलीय और समांतर रेखाएँ
अंतरिक्ष में दो रेखाओं की तीन स्थितियाँ होती हैं:
- प्रतिच्छेदी: एक उभयनिष्ठ बिंदु। दोनों एक समतल में होती हैं।
- समांतर: एक समतल में हैं और कभी नहीं मिलतीं।
- विषमतलीय (skew): कभी नहीं मिलतीं और कोई समतल दोनों को नहीं रखता। उदाहरण: कमरे के फ़र्श की कोर और छत की कोई ग़ैर-समांतर कोर।
विषमतलीय की जाँच। अगर रेखा a किसी समतल में है और रेखा b उस समतल को ऐसे बिंदु पर काटती है जो a पर नहीं है, तो a और b विषमतलीय हैं।
काम के तथ्य। रेखा के बाहर के बिंदु से उसके समांतर ठीक एक रेखा होती है। तीसरी रेखा के समांतर दो रेखाएँ आपस में समांतर होती हैं। किसी रेखा से होकर, उसकी विषमतलीय रेखा के समांतर ठीक एक समतल जाता है।
घन में गिनती। एक कोर लीजिए। उसके समांतर 3 कोरें हैं, उससे मिलने वाली 4 और विषमतलीय 4 (12 − 1 − 3 − 4 = 4)।
विषमतलीय रेखाओं के बीच का कोण। एक रेखा को अपनी दिशा बनाए रखकर खिसकाइए जब तक वह दूसरी से न मिले। जो कोण बनता है वही विषमतलीय रेखाओं के बीच का कोण है।
समांतर प्रक्षेपण और उसके गुण
एक समतल π (चित्र-तल) और π के समांतर न होने वाली दिशा l चुनिए। आकृति के हर बिंदु A से l के समांतर रेखा खींचिए। वह π को चित्र-बिंदु A′ पर मिलती है। यह समांतर प्रक्षेपण है। ज़मीन पर सूरज की रोशनी अच्छा नमूना है: किरणें लगभग समांतर हैं।
क्या बचता है:
- रेखा रेखा में जाती है (या एक बिंदु में, अगर रेखा l के समांतर हो)।
- समांतर रेखाएँ समांतर रेखाओं में जाती हैं।
- एक रेखा के बिंदुओं का क्रम बना रहता है और एक रेखा पर खंडों का अनुपात बना रहता है: अगर C, AB को 2 : 3 में बाँटता है तो C′, A′B′ को 2 : 3 में बाँटता है। ख़ास तौर पर, खंड का मध्य बिंदु उसके चित्र के मध्य बिंदु पर जाता है।
- चित्र-तल के समांतर समतल में रखी आकृति अपना ठीक आकार और माप रखती है।
क्या खो जाता है: अलग-अलग दिशाओं में लंबाइयाँ, क्षेत्रफल और कोण। समकोण न्यूनकोण या अधिककोण बन सकता है। केवल समांतर खंडों का (और एक रेखा के खंडों का) अनुपात बचता है।
समतल आकृतियों के चित्र
क्योंकि केवल समांतरता और अनुपात बचते हैं, हम ठीक-ठीक बता सकते हैं कि कौन-से चित्र संभव हैं:
- त्रिभुज: कोई भी त्रिभुज किसी भी त्रिभुज का चित्र हो सकता है। इसलिए समबाहु त्रिभुज को समकोण त्रिभुज या लंबे पतले त्रिभुज की तरह बनाया जा सकता है।
- समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग: चित्र हमेशा समांतर चतुर्भुज होता है (सम्मुख भुजाएँ समांतर रहती हैं)। वर्ग का चित्र कभी समलंब नहीं हो सकता।
- समलंब: चित्र समलंब होता है और समांतर भुजाओं का अनुपात बना रहता है।
- सम षट्भुज: सम्मुख भुजाएँ समांतर और तीन बड़े विकर्ण केंद्र से गुज़रते हैं। विकर्णों पर 1 : 2 वाले अनुपात बने रहते हैं।
- वृत्त: दीर्घवृत्त (या वृत्त, अगर चित्र-तल समांतर हो)।
ठोस बनाना। काग़ज़ पर घन बनाने के लिए सामने का फलक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, पीछे के फलक के लिए उसकी खिसकी हुई प्रति बनाते हैं, संगत कोनों को जोड़ते हैं और छिपी कोरें बिंदीदार खींचते हैं। चतुष्फलक त्रिभुज की तरह बनता है जिसमें एक बिंदु अंदर या बाहर होता है और उससे तीन कोनों तक रेखाएँ। ऊपर के सब नियम चित्र को सही रखते हैं।
केंद्रीय प्रक्षेपण
केंद्रीय प्रक्षेपण में सारी किरणें एक बिंदु S (लैंप या आँख) से निकलती हैं। A का चित्र वहाँ है जहाँ रेखा SA चित्र-तल से मिलती है।
- रेखा अब भी रेखा में जाती है।
- पर समांतर रेखाएँ अक्सर ऐसी रेखाओं में जाती हैं जो मिलती हैं (रेल की पटरियों की तरह)।
- खंडों का अनुपात नहीं बचता, और मध्य बिंदु भी नहीं।
- चित्र-तल के समांतर रेखाएँ समांतर ही रहती हैं।
कैमरा और आँख दुनिया को ऐसे ही देखते हैं, इसलिए कलाकार इसे परिप्रेक्ष्य (perspective) के लिए इस्तेमाल करते हैं। इंजीनियरिंग चित्रों में समांतर प्रक्षेपण चलता है, क्योंकि वह समांतर रेखाएँ और अनुपात बचाता है।
चतुष्फलक और समानांतर षट्फलक के परिच्छेद
तल द्वारा ठोस का परिच्छेद वह बहुभुज है जहाँ तल उसे काटता है। परिच्छेद की हर भुजा ठोस के एक फलक पर होती है, इसलिए भुजाओं की संख्या फलकों की संख्या से ज़्यादा नहीं हो सकती।
- चतुष्फलक (4 फलक): परिच्छेद त्रिभुज या चतुर्भुज होता है।
- समानांतर षट्फलक या घन (6 फलक): परिच्छेद त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज या षट्भुज होता है।
प्रमेय। अगर तल दो समांतर तलों को काटे तो कटी रेखाएँ समांतर होती हैं। इसलिए समानांतर षट्फलक में सम्मुख फलकों पर परिच्छेद की भुजाएँ समांतर होती हैं।
तीन दिए बिंदुओं से परिच्छेद बनाने की विधि:
- अगर दो बिंदु एक ही फलक में हैं तो उन्हें जोड़िए। यह परिच्छेद की एक भुजा है।
- अगर तल एक फलक को किसी रेखा पर काट चुका है, तो सामने वाले फलक के किसी बिंदु से उसके समांतर रेखा खींचिए।
- अटक जाएँ तो ज्ञात भुजा को बढ़ाइए जब तक वह किसी दूसरे फलक के तल से न मिले। यह बिंदु, जिसे अनुरेख (trace) बिंदु कहते हैं, काटने वाले तल पर और उस फलक-तल पर होता है। इससे नई भुजा मिलती है।
- तब तक चलिए जब तक बहुभुज बंद न हो जाए।
ख़ास परिच्छेद। घन के कोने पर मिलती तीन कोरों के मध्य बिंदुओं से गुज़रता तल समबाहु त्रिभुज देता है। घन की छह कोरों के मध्य बिंदुओं से गुज़रता तल सम षट्भुज देता है। सम चतुष्फलक की कोरों AB, BC, CD, DA के मध्य बिंदुओं से गुज़रता तल वर्ग देता है।
करके देखिए: छाया और रोटी का टुकड़ा
छाया। कॉपी के ऊपर दो पेंसिलें समांतर पकड़िए और दूर से टॉर्च जलाइए: छायाएँ समांतर हैं। अब टॉर्च पास लाइए: छायाएँ फैल जाती हैं। यही समांतर और केंद्रीय प्रक्षेपण का अंतर है।
परिच्छेद। डबलरोटी या मिट्टी के ढेले को सीधा काटिए, फिर तिरछा, और कटे फलक को देखिए। 3D में तल सरकाने से पहले भुजाओं की संख्या का अनुमान लगाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- समांतर प्रक्षेपण: रेखा → रेखा; समांतर → समांतर; AC : CB = A′C′ : C′B′
- खंड का मध्य बिंदु → चित्र का मध्य बिंदु
- त्रिभुज का चित्र: कोई भी त्रिभुज; समांतर चतुर्भुज का: समांतर चतुर्भुज
- केंद्रीय प्रक्षेपण: समांतरता और अनुपात नहीं बचते (चित्र-तल के समांतर रेखाओं को छोड़कर)
- तल दो समांतर तलों को समांतर रेखाओं में काटता है
- परिच्छेद की भुजाएँ ≤ फलकों की संख्या: चतुष्फलक ≤ 4, समानांतर षट्फलक ≤ 6
हल किए गए उदाहरण
1. घन की 12 कोरें हैं। एक चुनी हुई कोर की कितनी कोरें विषमतलीय हैं?
स्वयं कोर (1), 3 समांतर कोरें और उससे मिलने वाली 4 कोरें (हर सिरे पर 2) हटाइए। 12 − 1 − 3 − 4 = 4 विषमतलीय कोरें।
2. खंड AB पर बिंदु C है और AC : CB = 2 : 3। समांतर प्रक्षेपण में AB का चित्र A′B′ = 10 cm है। A′C′ ज्ञात कीजिए।
रेखा पर अनुपात बना रहता है, इसलिए A′C′ : C′B′ = 2 : 3। A′C′ = 10 × 2/5 = 4 cm।
3. क्या समबाहु त्रिभुज का समांतर प्रक्षेपण में चित्र समकोण त्रिभुज हो सकता है?
हाँ। कोई भी त्रिभुज किसी भी त्रिभुज का चित्र हो सकता है, इसलिए समबाहु त्रिभुज को समकोण त्रिभुज की तरह बनाया जा सकता है।
4. क्या वर्ग का चित्र ऐसा समलंब हो सकता है जिसमें केवल एक जोड़ी भुजाएँ समांतर हों?
नहीं। वर्ग की सम्मुख भुजाएँ समांतर हैं और समांतर रेखाएँ समांतर रहती हैं। दोनों जोड़ियाँ समांतर रहती हैं, इसलिए चित्र समांतर चतुर्भुज है।
5. घन की कोर 4 cm है। एक तल एक कोने पर मिलती तीनों कोरों के मध्य बिंदुओं से गुज़रता है। परिच्छेद क्या है और उसकी भुजा कितनी है?
हर कटा बिंदु कोने से कोर पर 2 cm दूर है। दो कटे बिंदुओं की दूरी √(2² + 2²) = 2√2 ≈ 2.83 cm है। तीनों भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए परिच्छेद 2√2 cm भुजा का समबाहु त्रिभुज है।
6. सम चतुष्फलक ABCD की कोर 6 cm है। तल AB, BC, CD, DA के मध्य बिंदुओं M, N, P, Q से गुज़रता है। परिच्छेद ज्ञात कीजिए।
MN त्रिभुज ABC की मध्यिका-रेखा है, इसलिए MN ∥ AC और MN = 3। इसी तरह QP ∥ AC और QP = 3। NP ∥ BD, MQ ∥ BD, दोनों 3 cm। सम चतुष्फलक में सम्मुख कोरें AC और BD परस्पर लंब हैं, इसलिए कोण 90° हैं। परिच्छेद 3 cm भुजा का वर्ग है और क्षेत्रफल 9 cm²।
आम गलतियाँ
- यह मान लेना कि वर्ग का समांतर प्रक्षेपण चित्र वर्ग ही होगा। सामान्यतः वह समांतर चतुर्भुज होता है।
- यह मानना कि केंद्रीय प्रक्षेपण में समांतर रेखाएँ समांतर रहती हैं। नहीं रहतीं (चित्र-तल के समांतर होने पर छोड़कर)।
- सिर्फ़ इसलिए रेखाओं को विषमतलीय कह देना कि वे नहीं मिलतीं। समांतर रेखाएँ भी नहीं मिलतीं: विषमतलीय रेखाएँ ग़ैर-समांतर भी होनी चाहिए।
- ठोस के फलकों से ज़्यादा भुजाओं वाला परिच्छेद बनाना। चतुष्फलक का परिच्छेद कभी पंचभुज नहीं हो सकता।