प्रक्षेप तल: HP, VP और XY रेखा
हम दो समतल संदर्भ तल लेते हैं। HP (क्षैतिज तल) फर्श जैसा है। VP (ऊर्ध्वाधर तल) उस पर खड़ी दीवार जैसा। दोनों एक सीधी रेखा में मिलते हैं, जिसे संदर्भ रेखा XY कहते हैं।
ऊपर से सीधे देखने पर ऊपरी दृश्य (प्लान) HP पर बनता है। सामने से सीधे देखने पर सामने का दृश्य (एलिवेशन) VP पर बनता है। फिर HP को नीचे घुमाकर कागज़ में मिला देते हैं, ताकि दोनों दृश्य एक ही शीट पर आएँ: ऊपरी दृश्य XY के नीचे और सामने का दृश्य XY के ऊपर।
HP पर सपाट आकृति (HP के समांतर)
पतली समतल आकृति में क्षेत्रफल होता है पर मोटाई लगभग नहीं। जब वह HP के समांतर हो:
- ऊपरी दृश्य असली आकार और असली माप का होता है।
- सामने का दृश्य सीधी रेखा होता है, XY के समांतर, उतनी ही लंबी जितनी आकृति चौड़ी है।
इसलिए हर सवाल में पहले ऊपरी दृश्य में असली आकार बनाइए।
HP से झुकी आकृति: दो चरण की विधि
मान लीजिए आकृति HP पर एक किनारे पर टिकी है और वह किनारा VP के समांतर है। आकृति HP से कोण θ पर झुकी है।
- चरण 1: आकृति सपाट बनाइए। ऊपरी दृश्य = असली आकार, सामने का दृश्य = रेखा।
- चरण 2: सामने के दृश्य की रेखा को टिके किनारे के सहारे θ से झुकाइए। फिर ऊपरी दृश्य के कोनों से ऊपर की ओर खड़ी रेखाएँ और झुकी रेखा से आड़ी रेखाएँ खींचिए। जहाँ वे मिलें, वहाँ नए ऊपरी दृश्य के कोने हैं।
क्या बदलता है? केवल गहराई (झुकाव की दिशा का माप)। ऊपरी दृश्य की गहराई = गहराई × cos θ। सामने की ऊँचाई = गहराई × sin θ। चौड़ाई वही रहती है। ऊपरी दृश्य का क्षेत्रफल = असली क्षेत्रफल × cos θ।
θ = 90° पर ऊपरी दृश्य रेखा होता है और सामने का दृश्य असली आकार।
त्रिभुज, वर्ग, पंचभुज और षट्भुज
भुजा a से असली आकार बनाइए, फिर "गहराई" (टिके किनारे से सबसे दूर बिंदु तक की दूरी) लीजिए:
- समबाहु त्रिभुज: गहराई (शीर्षलंब) = 0.866 a।
- वर्ग: गहराई = a।
- सम पंचभुज (एक भुजा पर): गहराई = 1.539 a। इसे पंचभुज की रचना से बनाइए (72° के पाँच बराबर मोड़)।
- सम षट्भुज (एक भुजा HP पर): कोनों के बीच चौड़ाई = 2a, सपाट भुजाओं के बीच गहराई = 1.732 a।
HP पर टिकी भुजा ऊपरी दृश्य में अपनी असली लंबाई में रहती है। यदि आकृति किसी कोने पर टिकी हो, तो पहले एक किनारे के सहारे झुकाकर फिर दोबारा घुमाना पड़ता है; यह अगले स्तर में सीखा जाता है।
वृत्त और अर्धवृत्त
व्यास d का वृत्त HP से झुकने पर ऊपरी दृश्य में दीर्घवृत्त (ellipse) बन जाता है: दीर्घ अक्ष d ही रहता है, लघु अक्ष d cos θ हो जाता है। सामने के दृश्य में लघु अक्ष d sin θ का दीर्घवृत्त बनता है और 90° पर रेखा।
इसे बनाने के लिए वृत्त पर घड़ी के घंटों की तरह 8 या 12 बराबर बिंदु लीजिए, झुकाइए, हर बिंदु को प्रक्षेपित कीजिए और बिंदुओं को चिकने वक्र से जोड़ दीजिए।
अर्धवृत्त भी इसी तरह बनता है। आम तौर पर उसका व्यास HP पर टिका होता है, इसलिए सीधा किनारा असली लंबाई में रहता है और आधे दीर्घवृत्त की गहराई (d/2) cos θ होती है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ऊपरी दृश्य की गहराई = असली गहराई × cos θ
- सामने के दृश्य की ऊँचाई = असली गहराई × sin θ
- टिके किनारे के समांतर चौड़ाई नहीं बदलती
- ऊपरी दृश्य का क्षेत्रफल = असली क्षेत्रफल × cos θ
- त्रिभुज का शीर्षलंब = 0.866 a; षट्भुज की सपाट भुजाओं के बीच = 1.732 a; पंचभुज की गहराई = 1.539 a
हल किए गए उदाहरण
1. 40 मिमी भुजा का एक वर्ग HP पर सपाट रखा है। उसके दृश्य क्या होंगे?
ऊपरी दृश्य: 40 × 40 मिमी का वर्ग (असली आकार)। सामने का दृश्य: 40 मिमी लंबी सीधी रेखा, XY के समांतर।
2. वही वर्ग एक किनारे पर टिका है और HP से 30° झुका है। ऊपरी दृश्य की गहराई और सामने की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
गहराई = 40। ऊपरी दृश्य की गहराई = 40 cos 30° = 34.64 मिमी, चौड़ाई 40 मिमी, यानी 40 × 34.64 का आयत। सामने की ऊँचाई = 40 sin 30° = 20 मिमी।
3. 50 मिमी भुजा का समबाहु त्रिभुज एक भुजा पर HP पर टिका है और 60° झुका है। दोनों दृश्य ज्ञात कीजिए।
शीर्षलंब = 0.866 × 50 = 43.3 मिमी। ऊपरी दृश्य में शीर्षलंब = 43.3 cos 60° = 21.65 मिमी (आधार अब भी 50 मिमी)। सामने की ऊँचाई = 43.3 sin 60° = 37.5 मिमी।
4. 30 मिमी भुजा का सम षट्भुज एक भुजा पर HP पर टिका है और 45° झुका है। ऊपरी दृश्य की गहराई ज्ञात कीजिए।
सपाट भुजाओं के बीच = 1.732 × 30 = 51.96 मिमी। ऊपरी गहराई = 51.96 cos 45° = 36.74 मिमी। कोनों के बीच चौड़ाई 60 मिमी ही रहती है।
5. 50 मिमी व्यास का वृत्त HP को अपने किनारे के एक बिंदु पर छूता है और 60° झुका है। उसके ऊपरी दृश्य का वर्णन कीजिए।
दीर्घवृत्त। दीर्घ अक्ष = 50 मिमी। लघु अक्ष = 50 cos 60° = 25 मिमी। सामने की ऊँचाई = 50 sin 60° = 43.3 मिमी।
6. 1600 वर्ग मिमी क्षेत्रफल का वर्ग, एक किनारा HP पर, 60° झुका है। ऊपरी दृश्य का क्षेत्रफल क्या है?
क्षेत्रफल = 1600 cos 60° = 1600 × 0.5 = 800 वर्ग मिमी। जाँच: भुजा 40, इसलिए 40 × (40 × 0.5) = 40 × 20 = 800।
आम गलतियाँ
- चौड़ाई भी बदल देना। केवल गहराई (झुकाव की दिशा वाली) घटती है; टिके किनारे के समांतर चौड़ाई नहीं।
- cos और sin उलट देना। फर्श (ऊपरी दृश्य) पर cos θ, दीवार (सामने का दृश्य) पर sin θ।
- यह भूल जाना कि ऊपरी दृश्य तभी असली आकार है जब आकृति HP के समांतर हो।
- दीर्घवृत्त के बिंदुओं को सीधी रेखाओं से जोड़ देना। उन्हें चिकने वक्र से जोड़िए।