क्षेत्रफल और उसकी इकाइयाँ
क्षेत्रफल आकृति के अंदर की समतल जगह है। हम गिनते हैं कि कितने इकाई वर्ग अंदर समाते हैं। 1 cm भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल 1 cm² (एक वर्ग सेंटीमीटर) होता है।
क्षेत्रफल की इकाइयाँ लंबाई की इकाइयों के वर्ग होती हैं, इसलिए रूपांतरण भी वर्ग से होता है:
- 1 m = 100 cm, इसलिए 1 m² = 100 × 100 = 10 000 cm²
- 1 km = 1000 m, इसलिए 1 km² = 10 लाख m²
- 1 हेक्टेयर (ha) = 10 000 m², खेतों के लिए काम आता है
गुणा करने से पहले सारी लंबाइयाँ एक ही इकाई में कर लीजिए।
आयत और समांतर चतुर्भुज
आधार b और ऊँचाई h वाले आयत में h वर्गों की b पंक्तियाँ होती हैं, इसलिए क्षेत्रफल = b × h।
समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ तिरछी होती हैं। एक तिरछे सिरे से समकोण त्रिभुज काटिए और उसे दूसरे सिरे पर लगा दीजिए। टुकड़े मिलकर उसी आधार और उसी ऊँचाई वाला आयत बना देते हैं। इसलिए क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई। ऊँचाई दोनों समानांतर भुजाओं के बीच की सीधी (लंबवत) दूरी है, तिरछी भुजा नहीं।
त्रिभुज
त्रिभुज की हू-ब-हू नक़ल लीजिए और उसे एक भुजा के मध्य-बिंदु के चारों ओर 180° घुमाइए। दोनों त्रिभुज मिलकर उसी आधार और ऊँचाई वाला समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। त्रिभुज उसका आधा है:
क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
कोई भी भुजा आधार हो सकती है। तब ऊँचाई सामने वाले कोने से उस आधार तक की लंबवत दूरी है।
समचतुर्भुज
समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। उसके दो विकर्ण d₁ और d₂ आपस में 90° पर कटते हैं। उसके बाहर d₁ गुणा d₂ का आयत बनाइए ताकि समचतुर्भुज के कोने आयत की हर भुजा के बीच में हों। समचतुर्भुज के बाहर के चारों कोने वाले त्रिभुज ठीक अंदर समा जाते हैं। इसलिए समचतुर्भुज आयत का आधा है:
क्षेत्रफल = ½ × d₁ × d₂
जिस भी आकृति के विकर्ण समकोण पर कटते हों, जैसे पतंग (kite), उस पर यह चलता है।
समलंब चतुर्भुज
समलंब की नक़ल लेकर उसे एक पाद के मध्य-बिंदु के चारों ओर 180° घुमाइए। दोनों समलंब मिलकर समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। उसका आधार (a + b) और ऊँचाई h है। समलंब उसका आधा है:
क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h
यही मध्य रेखा × ऊँचाई भी है, क्योंकि मध्य रेखा (a + b) ÷ 2 होती है।
किसी भी बहुभुज का क्षेत्रफल और सूत्र सिद्ध करना
ऊबड़-खाबड़ बहुभुज को आयतों, त्रिभुजों और समलंबों में बाँट लीजिए, हर एक का क्षेत्रफल निकालिए और जोड़ दीजिए। सूत्र सिद्ध करने के लिए ऊपर की तरह काटकर खिसकाइए या दुगना कीजिए: दिखाइए कि नई आकृति उन्हीं टुकड़ों से बनी है, इसलिए क्षेत्रफल बदल नहीं सकता।
करके देखिए
ग्राफ़ पेपर पर समांतर चतुर्भुज बनाकर काटिए, फिर एक ओर से त्रिभुज काटकर दूसरी ओर लगा दीजिए। आयत मिल जाएगा। वर्ग गिनिए और आधार × ऊँचाई से मिलाइए। अब त्रिभुज बनाइए, उसकी दो प्रतियाँ काटकर जोड़िए और समांतर चतुर्भुज बनाइए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- आयत: A = b × h
- समांतर चतुर्भुज: A = आधार × ऊँचाई
- त्रिभुज: A = ½ × आधार × ऊँचाई
- समचतुर्भुज: A = ½ × d₁ × d₂
- समलंब: A = ½ × (a + b) × h
- 1 m² = 10 000 cm²; 1 ha = 10 000 m²; 1 km² = 10 लाख m²
हल किए गए उदाहरण
1. एक खेत 40 m लंबा और 25 m चौड़ा है। उसका क्षेत्रफल m² और हेक्टेयर में ज्ञात कीजिए।
A = 40 × 25 = 1000 m²। 1 ha = 10 000 m² है, इसलिए यह 0.1 ha है।
2. एक समांतर चतुर्भुज का आधार 9 cm और ऊँचाई 6 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A = आधार × ऊँचाई = 9 × 6 = 54 cm²।
3. एक त्रिभुज का आधार 10 cm और ऊँचाई 7 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A = ½ × 10 × 7 = 35 cm²।
4. एक समचतुर्भुज के विकर्ण 8 cm और 6 cm हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A = ½ × 8 × 6 = 24 cm²।
5. एक समलंब की समानांतर भुजाएँ 7 cm और 5 cm हैं और ऊँचाई 4 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A = ½ × (7 + 5) × 4 = ½ × 12 × 4 = 24 cm²।
6. 2.5 m² को cm² में बदलिए। फिर उस समलंब की ऊँचाई निकालिए जिसका क्षेत्रफल 60 cm² और समानांतर भुजाएँ 8 cm और 12 cm हैं।
2.5 m² = 2.5 × 10 000 = 25 000 cm²। समलंब: 60 = ½ × (8 + 12) × h = 10 × h, इसलिए h = 6 cm।
आम गलतियाँ
- समांतर चतुर्भुज या त्रिभुज में ऊँचाई की जगह तिरछी भुजा रख देना। ऊँचाई आधार पर 90° होती है।
- त्रिभुज, समचतुर्भुज और समलंब के सूत्र में ½ भूल जाना।
- m² को cm² में बदलने के लिए 100 से गुणा करना। सही गुणक 100 × 100 = 10 000 है।
- अलग-अलग इकाइयों की लंबाइयाँ, जैसे मीटर और सेंटीमीटर, बिना बदले गुणा कर देना।