लंबकोणीय दृश्य क्या है?
सोचिए आप किसी ठोस को बहुत दूर से, बिल्कुल सीधा देख रहे हैं, ताकि देखने की सारी रेखाएँ समांतर हों। जो दिखता है वह एक समतल रूपरेखा है। यही लंबकोणीय दृश्य है।
- सामने का दृश्य (उन्नयन): सामने से। चौड़ाई और ऊँचाई दिखाता है।
- ऊपर का दृश्य (योजना): ऊपर से। चौड़ाई और गहराई दिखाता है।
- पार्श्व दृश्य: बाएँ या दाएँ से। गहराई और ऊँचाई दिखाता है।
हर दृश्य एक माप छिपाता है, इसलिए एक दृश्य काफ़ी नहीं। घनों से बने ठोस में सामने का दृश्य हर स्तंभ का सबसे ऊँचा ढेर दिखाता है; ऊपर का दृश्य बताता है कौन-से वर्ग भरे हैं।
दृश्यों से वापस ठोस बनाना
दृश्यों से ठोस बनाने के लिए:
- ऊपर के दृश्य से आधार पर भरे वर्ग चिह्नित करें।
- सामने के दृश्य से हर स्तंभ की अधिकतम ऊँचाई जानें।
- पार्श्व दृश्य से हर पंक्ति की अधिकतम ऊँचाई जानें।
- कोई ढेर दोनों सीमाओं से ऊँचा नहीं हो सकता। ऐसी ऊँचाइयाँ भरें जो तीनों दृश्यों से मेल खाएँ।
कभी-कभी एक जैसे दृश्यों से एक से ज़्यादा ठोस बनते हैं। तब घनों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या निकाली जा सकती है।
क्रम: प्रथम कोण और तृतीय कोण प्रक्षेप
तकनीकी ड्रॉइंग में दृश्य तय क्रम में रखे जाते हैं ताकि कोई भी पढ़ सके।
- प्रथम कोण प्रक्षेप (भारत, यूरोप, ISO): योजना सामने के दृश्य के नीचे; बाएँ से देखा दृश्य दाईं ओर।
- तृतीय कोण प्रक्षेप (अमेरिका, कनाडा): योजना सामने के दृश्य के ऊपर; दाएँ से देखा दृश्य दाईं ओर।
एक छोटा चिह्न (कटे शंकु के दो दृश्य) बताता है कौन-सी विधि है।
रेखाएँ और माप
- मोटी सतत रेखा: दिखने वाला किनारा।
- पतली टूटी रेखा: छिपा किनारा।
- पतली शृंखला रेखा (लंबा डैश, छोटा डैश): केंद्र रेखा या सममिति अक्ष।
- माप मिलीमीटर में, तीर वाली पतली रेखाओं पर, दृश्य के बाहर लिखे जाते हैं; हर माप एक बार।
जाल और अनुप्रस्थ काट
जाल वह समतल आकृति है जो मुड़कर ठोस बनती है।
- घन के 11 अलग जाल हैं, हर एक में 6 वर्ग।
- घनाभ के जाल में 6 आयत, 3 मिलते-जुलते जोड़ों में।
- त्रिभुजाकार प्रिज़्म: 2 त्रिभुज और 3 आयत।
- बेलन: 2 वृत्त और 1 आयत जिसकी लंबाई परिधि 2πr है।
- शंकु: 1 वृत्त और एक वृत्त का त्रिज्यखंड।
अनुप्रस्थ काट वह समतल सतह है जो किसी तल से ठोस काटने पर मिलती है। प्रिज़्म को सिरे के समांतर काटें तो सिरे जैसी आकृति मिलती है। बेलन को सीधा आर-पार काटें तो वृत्त; लंबाई में काटें तो आयत। घन को तिरछा काटने पर त्रिभुज या षट्भुज भी मिल सकता है। तकनीकी ड्रॉइंग में काट दृश्य कटी सतह को पतली तिरछी रेखाओं (हैचिंग) से दिखाता है।
करके देखें: माचिस की डिब्बी बनाइए
माचिस की डिब्बी या कोई छोटा डिब्बा मेज़ पर रखें। सामने से, ऊपर से और दाईं ओर से जो दिखे, हर एक को समतल आयत की तरह बनाएँ और प्रथम कोण क्रम में रखें। नापकर mm में माप लिखें। फिर डिब्बा खोलकर समतल करें और उसका जाल बनाएँ। 3D के आख़िरी चरण में ढेर बदलें और बटन दबाने से पहले दृश्यों का अनुमान लगाएँ।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- सामने का दृश्य = चौड़ाई × ऊँचाई; ऊपर का दृश्य = चौड़ाई × गहराई; पार्श्व दृश्य = गहराई × ऊँचाई
- घनों का ठोस: सामने के दृश्य में स्तंभ की ऊँचाई = उस स्तंभ का सबसे ऊँचा ढेर
- प्रथम कोण: योजना उन्नयन के नीचे; तृतीय कोण: योजना उन्नयन के ऊपर
- बेलन का जाल: आयत की लंबाई = 2πr, चौड़ाई = h; साथ में 2 वृत्त
- घन के 11 जाल; हर जाल में 6 वर्ग
हल किए गए उदाहरण
1. एक ठोस के ढेरों की ऊँचाई: (पिछली पंक्ति) 1, 0, 0; (बीच) 2, 1, 0; (आगे) 3, 2, 1। सामने का दृश्य बनाइए।
हर स्तंभ का सबसे ऊँचा ढेर लें। स्तंभ 1: max(1, 2, 3) = 3। स्तंभ 2: max(0, 1, 2) = 2। स्तंभ 3: max(0, 0, 1) = 1। सामने का दृश्य 3, 2 और 1 वर्गों के तीन स्तंभ: एक सीढ़ी।
2. इसी ठोस के ऊपर के दृश्य में कितने वर्ग हैं और कुल कितने घन हैं?
भरे वर्ग: पिछली पंक्ति 1, बीच 2, आगे 3 = ऊपर के दृश्य में 6 वर्ग। घन: 1 + 2 + 1 + 3 + 2 + 1 = 10।
3. एक बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm है। उसके जाल के आयत का माप निकालिए। (π = 22/7)
लंबाई = परिधि = 2πr = 2 × 22/7 × 7 = 44 cm। चौड़ाई = ऊँचाई = 10 cm। आयत 44 cm × 10 cm, साथ में 7 cm त्रिज्या के दो वृत्त।
4. घनों के ठोस का ऊपर का दृश्य 2 × 2 वर्ग है। सामने के दृश्य में ऊँचाई 2 और 1, पार्श्व दृश्य में 2 और 1। घनों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या?
अधिकतम: हर ढेर अपने स्तंभ और पंक्ति की छोटी सीमा तक: 2, 1, 1, 1 = 5 घन। न्यूनतम: ऊँचे स्तंभ और ऊँची पंक्ति के मिलन पर 2 और बाकी 1, ताकि हर वर्ग भरा रहे: 5। यहाँ दोनों 5 घन हैं।
आम गलतियाँ
- सामने के दृश्य के लिए स्तंभ की ऊँचाइयाँ जोड़ना। सामने का दृश्य हर स्तंभ का केवल सबसे ऊँचा ढेर दिखाता है।
- प्रथम और तृतीय कोण क्रम मिलाना। चिह्न देखें: प्रथम कोण में योजना नीचे होती है।
- छिपे किनारों को सतत रेखा से बनाना। छिपे किनारे टूटी रेखा से बनते हैं।
- भूलना कि बेलन के जाल के आयत की लंबाई परिधि 2πr है, व्यास नहीं।