परिच्छेद क्या है और इसे कैसे ढूँढ़ते हैं?
जब कोई सपाट तल किसी ठोस को काटता है तो कटा हुआ फलक परिच्छेद (section) कहलाता है। सपाट फलकों वाले ठोस में यह बहुभुज होता है। बहुभुज की हर भुजा वह रेखा है जहाँ तल एक फलक को काटता है। इसलिए तल से हर फलक पर एक भुजा मिलती है, और परिच्छेद की भुजाएँ ठोस के फलकों से ज़्यादा कभी नहीं हो सकतीं। घन के 6 फलक हैं, इसलिए उसके परिच्छेद की ज़्यादा से ज़्यादा 6 भुजाएँ होंगी। चतुष्फलक के 4 फलक हैं, तो ज़्यादा से ज़्यादा 4।
एक रेखा में न होने वाले तीन बिंदु ठीक एक तल तय करते हैं। सवाल में कटने वाला तल अक्सर ऐसे ही दिया जाता है। दूसरे तरीके: एक रेखा और उसके बाहर का बिंदु, या दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ।
चित्र आसानी से बनाने के नियम
नियम 1. दो बिंदुओं को तभी जोड़ें जब वे एक ही फलक पर हों। तब बीच का खंड उसी फलक पर रहता है और परिच्छेद का हिस्सा बनता है।
नियम 2. अगर दो फलक समांतर हैं तो कटने वाला तल उन्हें समांतर रेखाओं में काटता है। इसलिए एक फलक पर एक भुजा मिल जाए तो सामने वाले फलक पर उसकी समांतर रेखा खींचिए। घन या डिब्बे में यह सबसे तेज़ चरण होता है।
नियम 3. कटने वाले तल में पड़ी रेखा और किसी फलक-तल में पड़ी रेखा जहाँ मिलती हैं, वह बिंदु दोनों तलों में होता है। इससे नए बिंदु मिलते हैं।
ट्रेस विधि
कटने वाले तल का ट्रेस (चिह्न-रेखा) वह सीधी रेखा है जहाँ वह आधार के तल से मिलता है। चरण:
- परिच्छेद के दो बिंदु लीजिए जो एक फलक पर हों। उन्हें जोड़कर रेखा को आधार तल तक बढ़ाइए। यह मिलन-बिंदु ट्रेस पर है।
- दूसरे फलक के दो बिंदुओं से यही कीजिए। ट्रेस का दूसरा बिंदु मिलेगा।
- दोनों बिंदुओं को जोड़िए। यही ट्रेस रेखा है।
- देखिए ट्रेस आधार के किनारों को कहाँ काटती है। ये कटाव परिच्छेद के नए बिंदु हैं।
- एक फलक वाले बिंदुओं को घूमते हुए जोड़िए। बहुभुज में रंग भरिए।
यह क्यों काम करता है? दो सपाट तल एक सीधी रेखा में मिलते हैं, और उसे खींचने के लिए दो बिंदु काफ़ी हैं।
आंतरिक प्रक्षेपण विधि
कभी-कभी ज़रूरी रेखाएँ पन्ने से बहुत दूर जाकर मिलती हैं। तब आंतरिक प्रक्षेपण (internal projection) काम आता है। ठोस के अंदर परिच्छेद का एक बिंदु लीजिए। उसे आधार पर प्रक्षेपित कीजिए: प्रिज़्म या डिब्बे में सीधे नीचे (पार्श्व किनारों के समांतर), और पिरामिड में शीर्ष से जाने वाली रेखा के अनुदिश। अब आधार पर एक सपाट चित्र मिल जाता है। दो बिंदुओं से जाने वाली रेखा और उनके दो प्रक्षेपों से जाने वाली रेखा ट्रेस पर मिलती हैं। इस मिलन-बिंदु का उपयोग वैसे कीजिए जैसे ऊपर 3D में X का किया था।
दोनों विधियों में एक ही विचार है: कटने वाले तल और आधार तल का उभयनिष्ठ बिंदु ट्रेस पर होता है।
याद रखने लायक विशेष परिच्छेद
- घन, तल किसी फलक के समांतर: फलक के बराबर वर्ग।
- घन, तल दो आमने-सामने के किनारों से: a और a√2 भुजाओं वाला आयत।
- घन, तल एक कोने के तीन किनारों के मध्य-बिंदुओं से: समबाहु त्रिभुज, क्षेत्रफल √3a²/8।
- घन, तल छह किनारों के मध्य-बिंदुओं से: सम षट्भुज, भुजा a/√2, क्षेत्रफल 3√3a²/4।
- पिरामिड, तल आधार के समांतर: आधार जैसी छोटी आकृति। अगर वह शीर्ष से ऊँचाई के भिन्न k पर है तो क्षेत्रफल आधार का k² गुना।
- सम चतुष्फलक, तल चार किनारों के मध्य-बिंदुओं से (दो जोड़े आमने-सामने के किनारे): भुजा a/2 वाला वर्ग।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- परिच्छेद की भुजाएँ ≤ ठोस के फलकों की संख्या
- एक रेखा में न होने वाले 3 बिंदु → ठीक 1 तल
- समांतर फलक → परिच्छेद की समांतर भुजाएँ
- पिरामिड का आधार-समांतर तल, शीर्ष से ऊँचाई का भिन्न k: क्षेत्रफल = k² × आधार का क्षेत्रफल
- घन की भुजा a: षट्भुज परिच्छेद = 3√3a²/4; कोने के मध्य-बिंदुओं वाला त्रिभुज = √3a²/8
हल किए गए उदाहरण
1. 4 cm भुजा वाले घन के एक कोने पर मिलने वाले तीन किनारों के मध्य-बिंदुओं से एक तल गुज़रता है। परिच्छेद और उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
तल 3 फलकों को काटता है, इसलिए परिच्छेद त्रिभुज है। हर भुजा 2 cm भुजा वाले छोटे वर्ग का विकर्ण है, यानी 2√2 cm। त्रिभुज समबाहु है। क्षेत्रफल = (√3/4) × (2√2)² = (√3/4) × 8 = 2√3 ≈ 3.46 cm²।
2. एक तल घन के ऊपर के आगे वाले किनारे और नीचे के पीछे वाले किनारे से गुज़रता है। आकृति का नाम बताइए और 3 cm भुजा के लिए क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
तल आगे और पीछे के फलकों को इन्हीं दो किनारों पर काटता है, और ऊपर-नीचे के फलकों को समांतर रेखाओं में। यह आयत है। एक भुजा किनारा है, 3 cm; दूसरी फलक का विकर्ण, 3√2 cm। क्षेत्रफल = 3 × 3√2 = 9√2 ≈ 12.73 cm²।
3. घन के सामने वाले फलक पर P और Q हैं और दाएँ फलक पर R है। P और Q से ट्रेस का एक बिंदु कैसे मिलेगा?
P और Q एक फलक पर हैं, इसलिए इन्हें जोड़कर रेखा PQ को आधार तल तक बढ़ाइए, वह X पर मिलती है। X रेखा PQ पर है तो कटने वाले तल में है, और आधार तल में भी है, इसलिए X ट्रेस पर है। S (जहाँ PQ दाएँ किनारे से मिलती है) और R से यही करके दूसरा बिंदु Y पाइए। X और Y को जोड़िए।
आम गलतियाँ
- अलग-अलग फलकों के दो बिंदु जोड़ देना। खंड ठोस के अंदर से जाएगा, परिच्छेद के साथ नहीं।
- रेखाएँ न बढ़ाना। अगर रेखाएँ ठोस के अंदर नहीं मिलतीं तो उन्हें आधार तल तक बढ़ाकर ट्रेस खोजिए।
- फलकों से ज़्यादा भुजाएँ बना देना। परिच्छेद की हर फलक पर ज़्यादा से ज़्यादा एक भुजा होती है।
- ट्रेस केवल एक बिंदु से खींचना। रेखा तय करने के लिए हमेशा दो बिंदु चाहिए।