परिच्छेद क्या है?
एक बहुत पतला, सपाट चाकू सोचिए। इसे तल (plane) कहते हैं। जब तल किसी ठोस को काटता है, तो बना सपाट फलक परिच्छेद या अनुप्रस्थ काट कहलाता है।
- परिच्छेद हमेशा सपाट आकृति होती है (सपाट फलकों वाले ठोस में बहुभुज)।
- परिच्छेद की हर भुजा ठोस के किसी एक फलक पर होती है।
- इसलिए: भुजाओं की संख्या = कटे फलकों की संख्या।
परिच्छेद बनाने के लिए देखिए कि तल हर किनारे को कहाँ मिलता है। इन बिंदुओं को फलक-दर-फलक क्रम से जोड़िए।
घन के परिच्छेद
घन के 6 फलक हैं, इसलिए परिच्छेद में 3, 4, 5 या 6 भुजाएँ हो सकती हैं।
- फलक के समांतर: फलक जितना वर्ग। क्षेत्रफल = a²।
- दो आमने-सामने के किनारों से (विकर्ण तल): a × a√2 का आयत। क्षेत्रफल = a²√2।
- कोना काटने पर: त्रिभुज। तीनों किनारों पर बराबर दूरी हो तो समबाहु।
- केंद्र से, अंतराकाशीय विकर्ण (space diagonal) के लंबवत: सम षट्भुज, भुजा a√2⁄2। क्षेत्रफल = (3√3⁄4)a²।
- दूसरे झुके तल समलंब या पंचभुज देते हैं।
घन से सम पंचभुज या 7 भुजाओं वाली आकृति कभी नहीं बनती।
पिरामिड, प्रिज़्म, बेलन और शंकु के परिच्छेद
पिरामिड, आधार के समांतर तल: परिच्छेद आधार की छोटी प्रति है। यदि कट शीर्ष से ऊँचाई के k भाग पर है, तो हर लंबाई k गुना और क्षेत्रफल k² गुना होता है।
उदाहरण: 4 cm आधार वाला वर्ग पिरामिड आधी ऊँचाई पर कटे: भुजा 2 cm, क्षेत्रफल 4 cm² (16 cm² का एक-चौथाई)।
शीर्ष से गुज़रता तल: त्रिभुज। सम वर्ग पिरामिड का विकर्ण परिच्छेद शीर्ष और आधार के दो आमने-सामने के कोनों से गुज़रता है।
प्रिज़्म: आधार के समांतर कट से आधार जैसी आकृति। बेलन: आधार के समांतर वृत्त; अक्ष के साथ आयत; तिरछा दीर्घवृत्त। शंकु: वृत्त, त्रिभुज, दीर्घवृत्त या खुले वक्र (परवलय, अतिपरवलय)।
लंब रेखाओं से परिच्छेद का क्षेत्रफल
कोई रेखा तल पर लंब है यदि वह तल की दो काटती रेखाओं पर लंब हो; तब वह तल की हर रेखा पर लंब होती है। पिरामिड की ऊँचाई ऐसी ही रेखा है।
तीन लंबों का प्रमेय: PO तल पर लंब है और रेखा ℓ तल में है। यदि OA, ℓ पर लंब है, तो तिरछी रेखा PA भी ℓ पर लंब होगी (और उल्टा भी)। इससे हम त्रिभुजाकार परिच्छेद की ऊँचाई या पिरामिड फलक की तिर्यक ऊँचाई निकालते हैं, फिर क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई।
तकनीकी ड्राइंग में सेक्शन और कट
इंजीनियर काल्पनिक कटिंग तल से छिपा अंदरूनी भाग दिखाते हैं।
- सेक्शन: केवल कटिंग तल में पड़ी आकृति। बाहर निकाला (removed) सेक्शन व्यू के बाहर बनता है; ऊपर रखा (superimposed) सेक्शन व्यू पर ही पतली रेखाओं से।
- कट (सेक्शनल व्यू): कटा फलक और तल के पीछे दिखने वाला सब कुछ।
- हैचिंग: कटे फलक में पतली समांतर रेखाएँ, आमतौर पर 45° पर। अलग पदार्थों (धातु, लकड़ी, काँच, प्लास्टिक) के अलग पैटर्न।
- सरल कट: एक तल। जटिल कट: दो या अधिक तल (सीढ़ीदार या मुड़े)। पूरा कट: पूरे पुर्ज़े से। स्थानीय कट: छोटा भाग, लहरदार रेखा से घिरा।
- आधा व्यू + आधा कट: सममित पुर्ज़े में आधा बाहरी व्यू और आधा कट, बीच में केंद्र रेखा।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- परिच्छेद की भुजाएँ = तल द्वारा काटे गए फलकों की संख्या
- घन, फलक के समांतर: क्षेत्रफल = a²
- घन, विकर्ण तल: आयत a × a√2, क्षेत्रफल = a²√2
- घन, सम षट्भुज: भुजा = a√2⁄2, क्षेत्रफल = (3√3⁄4)a²
- घन, कोने से x दूरी पर कट: समबाहु त्रिभुज, भुजा x√2, क्षेत्रफल = (√3⁄2)x²
- पिरामिड, शीर्ष से ऊँचाई के k भाग पर आधार के समांतर: क्षेत्रफल = k² × आधार का क्षेत्रफल
हल किए गए उदाहरण
1. 6 cm किनारे वाले घन का दो आमने-सामने के किनारों से गुज़रता परिच्छेद का क्षेत्रफल निकालिए।
परिच्छेद 6 cm × फलक विकर्ण 6√2 ≈ 8.49 cm का आयत है। क्षेत्रफल = 6 × 6√2 = 36√2 ≈ 50.9 cm²।
2. 4 cm घन को छह किनारों के मध्य-बिंदुओं से काटने पर सम षट्भुज बनता है। उसकी भुजा और क्षेत्रफल?
भुजा = एक कोने के दो किनारों के मध्य-बिंदुओं की दूरी = √(2² + 2²) = 2√2 ≈ 2.83 cm। क्षेत्रफल = (3√3⁄2) × 8 = 12√3 ≈ 20.8 cm²।
3. तल घन का एक कोना काटता है और तीनों किनारों को कोने से 3 cm पर मिलता है। परिच्छेद बताइए।
हर भुजा = √(3² + 3²) = 3√2 cm। सब भुजाएँ बराबर, इसलिए समबाहु त्रिभुज। क्षेत्रफल = (√3⁄4) × 18 ≈ 7.79 cm²।
4. वर्ग पिरामिड: आधार 10 cm, ऊँचाई 12 cm। आधार के समांतर तल शीर्ष से 3 cm नीचे है। परिच्छेद का क्षेत्रफल?
k = 3⁄12 = 1⁄4। भुजा = 10 × 1⁄4 = 2.5 cm। क्षेत्रफल = 6.25 cm² (= 100 × 1⁄16)।
5. सम वर्ग पिरामिड: आधार किनारा 6 cm, ऊँचाई 4 cm। विकर्ण परिच्छेद (शीर्ष और आधार के दो आमने-सामने के कोनों से) का क्षेत्रफल?
त्रिभुज का आधार = आधार का विकर्ण 6√2 ≈ 8.49 cm, ऊँचाई = पिरामिड की ऊँचाई 4 cm। क्षेत्रफल = ½ × 6√2 × 4 = 12√2 ≈ 16.97 cm²।
6. वही पिरामिड। शीर्ष और आधार के दो आमने-सामने के किनारों के मध्य-बिंदुओं से गुज़रते परिच्छेद का क्षेत्रफल?
त्रिभुज का आधार 6 cm (केंद्र से होकर), ऊँचाई 4 cm। क्षेत्रफल = ½ × 6 × 4 = 12 cm²। हर तिरछी भुजा फलक की तिर्यक ऊँचाई √(3² + 4²) = 5 cm है, जो तीन लंबों के विचार से मिलती है।
आम गलतियाँ
- यह सोचना कि घन से 7 या 8 भुजाओं वाला परिच्छेद बन सकता है। उसके केवल 6 फलक हैं, इसलिए अधिकतम 6 भुजाएँ।
- विकर्ण परिच्छेद में किनारा लेना: लंबी भुजा a√2 है, a नहीं।
- पिरामिड कट में क्षेत्रफल को k से गुणा करना। लंबाई k से, क्षेत्रफल k² से बदलता है।
- ड्राइंग में सेक्शन (केवल कटा फलक) और कट (कटा फलक + पीछे का भाग) को मिलाना, या बिना कटे भाग पर हैचिंग करना।