वक्र: रेखाएँ, शांकव और प्राचल पथ
वक्र (curve) चलते हुए बिंदु का पथ है। वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय चार शांकव परिच्छेद (conic sections) हैं: ये तब बनते हैं जब समतल शंकु को अलग-अलग झुकाव से काटता है। सीधी काट से वृत्त, थोड़े झुकाव से दीर्घवृत्त, तिरछी भुजा के समांतर काट से परवलय, और दोहरे शंकु के दोनों भाग काटने वाली तीखी काट से अतिपरवलय मिलता है। समीकरण शांकव परिच्छेद पाठ में देखें।
वक्र को प्राचल (parameter) से भी लिख सकते हैं: x = f(t) और y = g(t)। जैसे x = cos t, y = sin t, जब t 0 से 2π तक चले, वृत्त बनाता है। यह विचार प्राचल समीकरण पाठ में है।
रचनाएँ: बिलकुल सही चित्र
रचना (construction) में आकृति सिर्फ़ सीधे किनारे (बिना निशान वाली पट्टी) और कम्पास से बनाई जाती है। इससे कोण का समद्विभाजक, लंब समद्विभाजक, कोण की नकल और समबाहु त्रिभुज बन सकते हैं। हर चरण इस बात पर टिका है कि वृत्त का हर बिंदु केंद्र से बराबर दूरी पर है। पूरा तरीक़ा ज्यामितीय रचनाएँ पाठ में है।
यहाँ इसका महत्व: कंप्यूटर आने से बहुत पहले सतहों की रूपरेखा और काट इसी तरह बनाई जाती थी।
परिक्रमण सतहें
सतह (surface) 3D में पतली परत है, जिस पर दो दिशाओं में चला जा सकता है। परिक्रमण सतह (surface of revolution) तब बनती है जब प्रोफ़ाइल वक्र को एक सीधी रेखा, यानी अक्ष, के चारों ओर घुमाया जाए। अगर ऊँचाई y पर प्रोफ़ाइल अक्ष से r(y) दूरी पर है, तो सतह का हर बिंदु x² + z² = r(y)² मानता है।
अक्ष खड़ा हो तो उदाहरण: खड़ी रेखा r = स्थिरांक से बेलन; तिरछी रेखा r = k|y| से शंकु; परवलय से परवलयज (कटोरा); और अतिपरवलय से अतिपरवलयज (कूलिंग टावर)।
सतह की काट (अनुप्रस्थ परिच्छेद)
सतह को ऊँचाई y पर समतल से काटो। परिक्रमण सतह में अक्ष के आर-पार की काट हमेशा त्रिज्या r(y) वाला वृत्त होती है। उसका क्षेत्रफल πr² है। अक्ष के साथ-साथ की काट में प्रोफ़ाइल वक्र ही दिखता है।
यही तरकीब हर ठोस पर चलती है: सतह को समझना हो तो उसे काटो और मिलने वाले वक्र देखो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y-अक्ष के परितः परिक्रमण सतह: x² + z² = r(y)²
- बेलन: r(y) = c (स्थिरांक)
- शंकु: r(y) = k·y
- वृत्ताकार काट: क्षेत्रफल = π·r(y)²
- प्राचल से वृत्त: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- प्राचल से दीर्घवृत्त: x = a cos t, y = b sin t
हल किए गए उदाहरण
1. अक्ष से 3 सेमी दूर की एक खड़ी रेखा को अक्ष के चारों ओर घुमाया गया। सतह का नाम और काट की त्रिज्या बताओ।
प्रोफ़ाइल r = 3 स्थिर है, इसलिए सतह बेलन है। हर काट 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त है।
2. एक शंकु में r(y) = 0.5y है। y = 4 पर काट की त्रिज्या निकालो।
r = 0.5 × 4 = 2। काट 2 त्रिज्या का वृत्त है।
3. शंकु r = 0.5y के लिए y = 4 पर काट का क्षेत्रफल निकालो।
क्षेत्रफल = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 वर्ग इकाई।
4. एक टावर में r(y) = √(1 + y²) है, जहाँ y बीच से नापा गया है। कमर पर और y = 3 पर त्रिज्या निकालो।
y = 0 पर r = √1 = 1: यह कमर है, सबसे पतला भाग। y = 3 पर r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16। सिरों पर यह चौड़ा है।
5. एक समतल शंकु को उसकी तिरछी भुजा के समांतर काटता है। कौन-सा शांकव बनेगा?
परवलय। सीधी काट से वृत्त, थोड़े झुकाव से दीर्घवृत्त, भुजा के समांतर काट से परवलय, और दोनों भागों को काटने वाली तीखी काट से अतिपरवलय बनता है।
आम गलतियाँ
- प्रोफ़ाइल वक्र और सतह को एक ही चीज़ समझना। सतह वह है जो घूमते हुए वक्र से बनती है।
- यह भूलना कि x² + z² = r² हर तय y के लिए एक वृत्त है, कोई अकेला सपाट वक्र नहीं।
- शंकु और परवलयज को मिला देना। सीधी प्रोफ़ाइल से शंकु बनता है; टेढ़े परवलय से कटोरा।
- हर काट को वृत्त कह देना। अक्ष के आर-पार की काट वृत्त है, पर शंकु की तिरछी काट दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय हो सकती है।