तीन लंबों की प्रमेय
कोई रेखा तल पर लंब तब होती है जब वह अपने पाद (foot) से गुज़रने वाली तल की हर रेखा से 90° बनाती है। तल α, उसके बाहर बिंदु P लो, और PO तल α पर लंब है, पाद O।
अब α में एक रेखा l लो। O से l पर लंब OH खींचो (H, l पर है)।
प्रमेय। तब PH भी l पर लंब है। इसे "तीन लंब" इसलिए कहते हैं: PO ⊥ α, OH ⊥ l और PH ⊥ l।
यह क्यों सही है। l, OH से 90° पर है (हमने ऐसे ही खींची)। l, PO से भी 90° पर है, क्योंकि PO तल की हर रेखा पर लंब है। तो l दो कटती रेखाओं PO और OH से 90° पर है, जो दोनों तल POH में हैं। इसलिए l पूरे तल POH पर लंब है, और PH उसी तल में है। अतः l ⊥ PH।
इसका विलोम भी सही है। अगर PO ⊥ α और PH ⊥ l, तो OH ⊥ l।
बिंदु से तल की दूरी
P से तल तक कई रेखाखंड जाते हैं। इनमें सबसे छोटा लंब PO है। इसकी लंबाई P से तल की दूरी है।
सबसे छोटा क्यों? तल का कोई दूसरा बिंदु M लो। त्रिभुज POM में O पर 90° है, इसलिए PM सबसे लंबी भुजा (कर्ण) है: PM > PO।
किसी ठोस में यह दूरी निकालने के लिए ऐसी रेखा खोजो जो तल पर लंब खड़ी हो। घन या बक्से में खड़ी किनारी फ़र्श पर लंब होती है, इसलिए उसकी लंबाई ऊपरी कोने से फ़र्श की दूरी है।
बिंदु से रेखा की दूरी
बिंदु P से रेखा l की दूरी P से l पर गिराए लंब की लंबाई है। अंतरिक्ष में यह लंब ढूँढना प्रमेय का काम है।
- l वाले तल पर लंब PO गिराओ।
- तल में OH ⊥ l खींचो।
- PH जोड़ो। प्रमेय से PH ⊥ l, इसलिए PH ही दूरी है।
- त्रिभुज POH में O पर समकोण है, इसलिए PH² = PO² + OH²।
l का कोई और बिंदु K लो तो PK² = PO² + OK² और OK > OH, इसलिए PK > PH। इसीलिए PH सबसे छोटी है।
उदाहरण: भुजा 6 वाले वर्ग फ़र्श के कोने A से सीधा 8 ऊपर बिंदु V है। V से किनारी CD की दूरी: AD ⊥ CD और VA ⊥ फ़र्श, इसलिए VD ⊥ CD, और VD = √(8² + 6²) = 10।
समांतर तलों के बीच की दूरी
दो तल α और β समांतर हैं अगर वे कभी नहीं मिलते। β का कोई भी बिंदु A लो और α पर लंब AA′ गिराओ। AA′ की लंबाई समांतर तलों के बीच की दूरी है।
यह β के हर बिंदु A के लिए बराबर है। दो समांतर तलों के बीच के सारे लंब बराबर होते हैं (वे आयतों की सम्मुख भुजाएँ हैं)। इसलिए दूरी इस पर निर्भर नहीं करती कि कहाँ नापी।
अगर कोई तिरछा रेखाखंड दोनों तलों को जोड़े, तो उसकी लंबाई c, निचले तल पर उसका प्रक्षेप p और दूरी h में संबंध है: c² = h² + p²।
उदाहरण: कमरे की छत और फ़र्श, बक्से के ऊपर और नीचे के फलक, अलमारी की दो शेल्फ़।
करके देखो: पेंसिल, रूलर और धागा
किताब को तल, खड़ी पेंसिल को PO, किताब पर रखे रूलर को रेखा l, और पेंसिल की नोक से रूलर तक धागे को PH मानो। समकोण सेट-स्क्वायर से जाँचो। फिर PO, OH और धागा नापो। क्या धागा PO² + OH² के वर्गमूल के बराबर है?
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- PO ⊥ तल, OH ⊥ l (तल में) ⇒ PH ⊥ l
- P से तल की दूरी = PO (लंब)
- P से रेखा l की दूरी = PH, जहाँ PH² = PO² + OH²
- समांतर तलों के बीच की दूरी = कोई भी उभयनिष्ठ लंब
- समांतर तलों के बीच तिरछा रेखाखंड: c² = h² + p²
हल किए गए उदाहरण
1. PO = 4 सेमी तल पर लंब है। O, तल की रेखा l से 3 सेमी दूर है (OH ⊥ l)। P से l की दूरी निकालो।
प्रमेय से PH ⊥ l, इसलिए PH ही दूरी है। PH² = 4² + 3² = 25, तो PH = 5 सेमी।
2. बिंदु P तल से 12 सेमी ऊपर है। उसका पाद O रेखा l से 5 सेमी दूर है। P से l की दूरी निकालो।
PH² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169। PH = 13 सेमी।
3. ABCD भुजा 6 सेमी का वर्ग है। VA = 8 सेमी वर्ग के तल पर लंब है। V से रेखा CD की दूरी निकालो।
AD ⊥ CD (वर्ग) और VA ⊥ तल। प्रमेय से VD ⊥ CD। इसलिए दूरी VD = √(VA² + AD²) = √(64 + 36) = 10 सेमी।
4. इसी आकृति में V से रेखा BC की दूरी निकालो।
AB ⊥ BC और VA ⊥ तल, इसलिए VB ⊥ BC। VB = √(VA² + AB²) = √(64 + 36) = 10 सेमी।
5. 13 सेमी लंबा रेखाखंड AB दो समांतर तलों को जोड़ता है। निचले तल पर उसका प्रक्षेप 5 सेमी है। तलों के बीच की दूरी निकालो।
प्रक्षेप, दूरी और AB मिलकर समकोण त्रिभुज बनाते हैं। h² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, तो h = 12 सेमी।
6. त्रिभुज ABC में A पर समकोण है, AB = 3 सेमी, AC = 4 सेमी। MA = 12 सेमी तल ABC पर लंब है। M से BC की दूरी निकालो।
BC = 5। AD ⊥ BC खींचो। AD = (AB × AC) ÷ BC = 12 ÷ 5 = 2.4 सेमी (क्षेत्रफल दो तरह से)। प्रमेय से MD ⊥ BC। MD² = 12² + 2.4² = 144 + 5.76 = 149.76, तो MD ≈ 12.24 सेमी।
आम गलतियाँ
- तिरछे रेखाखंड को तल की दूरी मान लेना। दूरी सिर्फ़ लंब से नापी जाती है।
- पहला लंब भूल जाना: OH पाद O से खींचनी है, P से नहीं।
- कर्ण गलत लेना। त्रिभुज POH में PH सबसे लंबी भुजा है।
- सोचना कि समांतर तलों की दूरी जगह के साथ बदलती है। यह हर जगह बराबर है।