अंतर्गत और परिगत का मतलब
जब कोई ठोस दूसरे के अंदर बैठकर उसे खास बिंदुओं पर छूता है, तो वह उसमें अंतर्गत (inscribed) है। बाहर वाला भीतर वाले के लिए परिगत (circumscribed) है। जैसे घन के अंदर का गोला घन में अंतर्गत है, और घन गोले के लिए परिगत है। छूना फलकों पर (स्पर्श), किनारों पर या कोनों पर हो सकता है। गोले का स्पर्श-तल उसे सिर्फ़ एक बिंदु पर छूता है।
सबसे अच्छी चाल: अक्ष से काटिए और समतल आकृति (अनुप्रस्थ काट) देखिए। घन में गोला = वर्ग में वृत्त। शंकु में गोला = त्रिभुज में वृत्त।
गोला और घन
घन के अंदर गोला (छह फलकों को छूता है)। गोले का व्यास घन की भुजा के बराबर है: 2r = a, इसलिए r = a/2। आयतन अनुपात गोला : घन = π/6 ≈ 0.52।
घन के बाहर गोला (आठ कोनों को छूता है)। घन की सबसे लंबी रेखा, अंतरिक्ष-विकर्ण, केंद्र से जाती है और व्यास है। अंतरिक्ष-विकर्ण a√3 है (पाइथागोरस दो बार)। इसलिए 2R = a√3 और R = a√3/2। आयतन अनुपात घन : गोला = 2/(π√3) ≈ 0.37।
इन दोनों के बीच एक तीसरा गोला है जो घन के 12 किनारों को छूता है: उसकी त्रिज्या a/√2 है। और एक ही घन के लिए पहले दो गोलों की त्रिज्याओं का अनुपात R : r = √3 है।
गोला और बेलन
बेलन के अंदर गोला दोनों ढक्कनों और घुमावदार बगल को छूता है: बेलन की त्रिज्या भी r है और उसकी ऊँचाई व्यास के बराबर, h = 2r। तब गोले का आयतन (4/3)πr³ और बेलन का 2πr³, अनुपात 2 : 3। आश्चर्य: गोले का पृष्ठ क्षेत्रफल 4πr² और बेलन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल 6πr² का अनुपात भी 2 : 3 है। यह आर्किमिडीज़ का प्रिय परिणाम था।
गोले के अंदर बेलन (दोनों किनारे गोले पर): अक्ष से काटिए। गोले का केंद्र बेलन के अक्ष का मध्य बिंदु है। केंद्र से किनारे के बिंदु तक की त्रिज्या उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी भुजाएँ r (बेलन की त्रिज्या) और h/2 हैं:
R² = r² + (h/2)²।
गोला और शंकु
शंकु के अंदर गोला (आधार और ढलान को छूता है)। अक्ष से काटिए: शंकु समद्विबाहु त्रिभुज बन जाता है जिसका आधार 2r, ऊँचाई h और बराबर भुजाएँ l = √(r² + h²) हैं। गोला उस त्रिभुज का अंतःवृत्त बन जाता है। अंतःवृत्त की त्रिज्या = क्षेत्रफल ÷ अर्ध-परिमाप:
ρ = (½ · 2r · h) / ((2l + 2r)/2) = rh/(r + l)।
गोले के अंदर शंकु (शीर्ष और आधार का किनारा गोले पर; आधार त्रिज्या r, ऊँचाई h): R = (r² + h²)/(2h)। काट में शीर्ष और आधार के दोनों सिरे एक वृत्त पर होते हैं। भुजा a वाले सम चतुष्फलक में अंतर्गत गोले की त्रिज्या a√6/12 और परिगत गोले की a√6/4 है, यानी R = 3r।
सवाल हल करने की 4 चरणों की योजना
- तय कीजिए कौन-सा ठोस अंदर (अंतर्गत) है और कौन बाहर।
- तय कीजिए कौन किसे छूता है: फलक, किनारा, कोने, तिर्यक बगल।
- अक्ष से काटिए और समतल काट बनाइए।
- समकोण त्रिभुज (पाइथागोरस), विकर्ण या अंतःवृत्त का नियम लगाइए। फिर माँगा गया आयतन या क्षेत्रफल निकालिए।
शुरू करने से पहले हर त्रिज्या का नाम लिख लीजिए (बेलन/शंकु के लिए r, बाहर के गोले के लिए R, अंदर के गोले के लिए ρ)।
करके देखिए: डिब्बे में गेंद
एक गेंद (या गोल फल) और ऐसा डिब्बा लीजिए जिसमें वह ठीक बैठे। गेंद की चौड़ाई स्केल से नापिए और डिब्बे की भुजा से मिलाइए। दोनों बराबर हैं: यही r = a/2 है। अब सोचिए कि डिब्बे के कोने बाहर से गेंद को छू रहे हों: अनुमान लगाइए कि गेंद का व्यास डिब्बे के विकर्ण के मुकाबले कितना होगा, फिर 3D में जाँचिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- घन (भुजा a) में गोला: r = a/2
- घन के बाहर गोला: R = a√3/2
- घन के 12 किनारों को छूने वाला गोला: ρ = a√2/2
- बेलन में गोला: h = 2r; V(गोला) : V(बेलन) = 2 : 3; S(गोला) : S(बेलन कुल) = 2 : 3
- गोले में बेलन: R² = r² + (h/2)²
- शंकु में गोला: ρ = rh/(r + l), l = √(r² + h²)
- गोले में शंकु: R = (r² + h²)/(2h)
- सम चतुष्फलक (भुजा a): अंतःत्रिज्या a√6/12, परित्रिज्या a√6/4
हल किए गए उदाहरण
1. 10 सेमी भुजा के घन में एक गोला अंतर्गत है। गोले का आयतन निकालिए।
r = a/2 = 5 सेमी। V = (4/3)π × 125 = 500π/3 ≈ 523.6 सेमी³।
2. 6 सेमी भुजा का घन एक गोले में अंतर्गत है। गोले की त्रिज्या और पृष्ठ क्षेत्रफल निकालिए।
R = a√3/2 = 3√3 ≈ 5.20 सेमी। पृष्ठ क्षेत्रफल = 4πR² = 4π × 27 = 108π ≈ 339.3 सेमी²।
3. 4 सेमी त्रिज्या का गोला एक बेलन में ठीक बैठता है। बेलन का आयतन और उसमें गोले का हिस्सा निकालिए।
h = 2r = 8 सेमी। बेलन: π × 16 × 8 = 128π सेमी³। गोला: (4/3)π × 64 = 256π/3 सेमी³। भाग = (256/3) ÷ 128 = 2/3।
4. 3 सेमी त्रिज्या और 8 सेमी ऊँचाई का बेलन एक गोले में अंतर्गत है। गोले की त्रिज्या निकालिए।
R² = r² + (h/2)² = 9 + 16 = 25, इसलिए R = 5 सेमी।
5. एक शंकु की आधार त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। उसमें आने वाले सबसे बड़े गोले की त्रिज्या निकालिए।
l = √(9 + 16) = 5 सेमी। ρ = rh/(r + l) = (3 × 4)/(3 + 5) = 12/8 = 1.5 सेमी।
6. 4 सेमी आधार त्रिज्या और 8 सेमी ऊँचाई वाला शंकु एक गोले में अंतर्गत है। गोले की त्रिज्या निकालिए।
R = (r² + h²)/(2h) = (16 + 64)/16 = 5 सेमी।
7. एक घन में गोला अंतर्गत है और वही घन एक बड़े गोले में अंतर्गत है। बड़े गोले और छोटे गोले के पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात निकालिए।
छोटा गोला r = a/2। बड़ा गोला R = a√3/2। R/r = √3। क्षेत्रफल अनुपात = (R/r)² = 3। यानी 3 : 1।
आम गलतियाँ
- घन के बाहर वाले गोले का व्यास घन की भुजा मान लेना। उसका व्यास अंतरिक्ष-विकर्ण a√3 होता है।
- बेलन में गोला हो तो बेलन की ऊँचाई 2r की जगह r लिख देना।
- अक्ष से न काटना। समतल काट के बिना समकोण त्रिभुज या अंतःवृत्त दिखता ही नहीं।
- ρ = rh/(r + l) में तिर्यक ऊँचाई l की जगह ऊँचाई h लगा देना।