आयतन का अर्थ और गुण
आयतन वह जगह है जो ठोस के अंदर होती है। हम इसे इकाई-घन गिनकर नापते हैं (1 cm × 1 cm × 1 cm का घन = 1 cm³)।
चार सरल गुण:
- आयतन कभी ऋणात्मक नहीं होता, और इकाई-घन का आयतन 1 होता है।
- सर्वांगसम (बराबर) ठोसों का आयतन बराबर होता है। ठोस को हिलाने या घुमाने से कुछ नहीं बदलता।
- आयतन जुड़ते हैं। ठोस को हिस्सों में काटो तो पूरे का आयतन हिस्सों के आयतनों का जोड़ होता है।
- कैवेलिएरी का सिद्धांत। अगर दो ठोसों की ऊँचाई बराबर हो और हर स्तर पर कटे हुए परतों का क्षेत्रफल बराबर हो, तो उनके आयतन बराबर होते हैं। इसीलिए प्रिज़्म तिरछा करने पर उसका आयतन नहीं बदला।
समांतर षट्फलक और प्रिज़्म
प्रिज़्म के दो आधार बराबर और समांतर होते हैं और पार्श्व फलक समतल होते हैं। समांतर षट्फलक (parallelepiped) वह प्रिज़्म है जिसका आधार समांतर चतुर्भुज हो। घनाभ और घन इसके विशेष रूप हैं।
V = B × h, जहाँ B आधार का क्षेत्रफल है और h ऊँचाई (दोनों आधारों के बीच की सीधी दूरी, तिरछी कोर नहीं)।
- घनाभ: V = l × b × h।
- घन: V = a³।
- त्रिभुजाकार प्रिज़्म: V = ½ × (त्रिभुज का आधार) × (त्रिभुज की ऊँचाई) × (प्रिज़्म की लंबाई)।
पिरामिड: एक-तिहाई क्यों?
पिरामिड में एक आधार होता है और त्रिभुजाकार फलक एक बिंदु (शीर्ष) पर मिलते हैं। इसका आयतन
V = ⅓ × B × h
तिहाई क्यों? घन को एक कोने पर मिलने वाले तीन बराबर पिरामिडों में काटा जा सकता है। हर पिरामिड का आधार और ऊँचाई घन जितनी है, इसलिए हर एक घन का एक-तिहाई है। कैवेलिएरी इसे हर आकार के आधार तक बढ़ा देता है। पिरामिड के बीच की परत का क्षेत्रफल आधार का केवल एक-चौथाई होता है, इसलिए पिरामिड प्रिज़्म से काफ़ी पतला है।
परत-क्षेत्रफल का समाकलन और छिन्नक
ठोस को Δx मोटाई की पतली परतों में काटो। हर परत का आयतन = (परत का क्षेत्रफल) × Δx। सब जोड़ो। परतें जितनी पतली, उत्तर उतना सही, और सीमा में यह समाकलन बन जाता है:
V = ∫ A(x) dx, 0 से h तक, जहाँ A(x) ऊँचाई x पर परत का क्षेत्रफल है।
वर्गाकार आधार (भुजा a) और ऊँचाई h वाले पिरामिड में x ऊँचाई पर परत की भुजा a(1 − x/h) है, इसलिए A(x) = a²(1 − x/h)²। तब
V = a² ∫(1 − x/h)² dx = a²·h/3 = ⅓ × B × h। यही एक-तिहाई नियम का प्रमाण है।
पिरामिड का छिन्नक
छिन्नक (frustum) वह भाग है जो पिरामिड के ऊपर का हिस्सा आधार के समांतर तल से काटने पर बचता है। अगर आधारों के क्षेत्रफल B₁ (नीचे) और B₂ (ऊपर) हैं और बीच की ऊँचाई h है:
V = (h/3)(B₁ + B₂ + √(B₁B₂))
यह "बड़ा पिरामिड घटा छोटा पिरामिड" से आता है। कटा हुआ पिरामिड बड़े के समरूप है, इसलिए उसकी भुजाएँ उसी अनुपात में हैं।
घर पर करके देखो
कागज़ से एक ही आधार और ऊँचाई वाला प्रिज़्म और पिरामिड बनाओ। पिरामिड में चावल भरकर प्रिज़्म में उँडेलो। प्रिज़्म भरने में तीन बार लगेंगे।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- प्रिज़्म / समांतर षट्फलक: V = B × h
- घनाभ: V = l × b × h, घन: V = a³
- पिरामिड: V = ⅓ × B × h
- छिन्नक: V = (h/3)(B₁ + B₂ + √(B₁B₂))
- परतों से आयतन: V = ∫₀ʰ A(x) dx
- सभी लंबाइयाँ k गुना करने पर आयतन k³ गुना
- मात्रक: cm³, m³ (1 लीटर = 1000 cm³)
हल किए गए उदाहरण
1. 5 cm × 4 cm × 3 cm के घनाभ का आयतन ज्ञात करो।
V = l × b × h = 5 × 4 × 3 = 60 cm³।
2. एक त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आधार समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 6 cm और 8 cm हैं। प्रिज़्म की लंबाई 10 cm है। आयतन ज्ञात करो।
आधार क्षेत्रफल = ½ × 6 × 8 = 24 cm²। V = B × h = 24 × 10 = 240 cm³।
3. वर्गाकार आधार वाले पिरामिड की भुजा 6 m और ऊँचाई 9 m है। आयतन ज्ञात करो।
B = 6 × 6 = 36 m²। V = ⅓ × 36 × 9 = 108 m³।
4. एक सम षट्भुजाकार प्रिज़्म के आधार की भुजा 4 cm और ऊँचाई 10 cm है। आयतन ज्ञात करो। (√3 = 1.73)
षट्भुज का क्षेत्रफल = (3√3/2) × भुजा² = 2.598 × 16 ≈ 41.6 cm²। V = 41.6 × 10 ≈ 416 cm³।
5. एक छिन्नक के वर्गाकार आधारों की भुजाएँ 6 cm (नीचे) और 2 cm (ऊपर) हैं, ऊँचाई 3 cm है। आयतन ज्ञात करो।
B₁ = 36, B₂ = 4, √(B₁B₂) = √144 = 12। V = (3/3)(36 + 4 + 12) = 52 cm³।
6. वर्गाकार पिरामिड की आधार भुजा 12 cm और ऊँचाई 9 cm है। आधार के समांतर तल से ऊपर का 6 cm हिस्सा काट दिया गया। बचे छिन्नक का आयतन ज्ञात करो।
पूरा पिरामिड: ⅓ × 144 × 9 = 432 cm³। ऊपर वाले पिरामिड की ऊँचाई 6 है, इसलिए आधार भुजा 12 × 6/9 = 8 cm: ⅓ × 64 × 6 = 128 cm³। छिन्नक = 432 − 128 = 304 cm³। सूत्र से जाँच: h = 3, (3/3)(144 + 64 + 96) = 304 cm³।
7. एक पिरामिड की आधार भुजा 4 और ऊँचाई 4 है। उसे 2 बराबर परतों में काटो और हर परत की बीच की चौड़ाई से आयतन का अनुमान लगाओ। ठीक मान से तुलना करो।
हर परत 2 मोटी है। बीच की चौड़ाइयाँ 3 और 1। जोड़ = 3² × 2 + 1² × 2 = 18 + 2 = 20। ठीक मान = ⅓ × 16 × 4 = 21.33। परतें बढ़ाने पर जोड़ ठीक मान के पास आता है।
8. समाकलन से वर्गाकार आधार (भुजा a) और ऊँचाई h वाले पिरामिड का आयतन निकालो।
ऊँचाई x पर परत की भुजा a(1 − x/h), क्षेत्रफल a²(1 − x/h)²। V = ∫₀ʰ a²(1 − x/h)² dx। u = 1 − x/h रखो, dx = −h du। V = a²h ∫₀¹ u² du = a²h/3 = ⅓ B h।
आम गलतियाँ
- ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h की जगह तिरछी कोर लेना। V = ⅓Bh या V = Bh में h दोनों आधारों के बीच की सीधी दूरी है।
- पिरामिड में ⅓ भूल जाना, या प्रिज़्म में ⅓ लगा देना।
- छिन्नक में V = h × (B₁ + B₂) / 3 लिखकर √(B₁B₂) छोड़ देना।
- मात्रक मिलाना: 1 m³ = 10,00,000 cm³, न कि 100 cm³। पहले लंबाइयाँ एक ही मात्रक में बदलो।