Russia 11 класс Probability and Statistics (basic)

अध्याय: 2

1. Random variables

Expectation and variance · Law of large numbers

यादृच्छिक चर और प्रायिकता बंटन – यादृच्छिक चर (random variable) X किसी संयोग वाले प्रयोग के हर परिणाम को एक संख्या देता है। असतत (discrete) यादृच्छिक चर अलग-अलग मान लेता है; उसका प्रायिकता बंटन हर मान x और उसकी प्रायिकता P(X = x) बताता है, जिनका जोड़ 1 होता है। माध्य (प्रत्याशित मान) E(X) = Σ x·P(x) है। प्रसरण Var(X) = E(X²) − [E(X)]² फैलाव मापता है, और मानक विचलन इसका वर्गमूल है।
बड़ी संख्याओं का नियम (Law of Large Numbers) – किसी यादृच्छिक प्रयोग को बार-बार दोहराओ तो किसी घटना की आपेक्षिक बारंबारता उसकी प्रायिकता p के और पास आती जाती है। ठीक-ठीक कहें तो किसी भी छोटी दूरी ε के लिए, बारंबारता (या नमूना माध्य) के असली मान से ε से ज़्यादा दूर होने की प्रायिकता, प्रयासों की संख्या n बढ़ने पर 0 की ओर जाती है। चेबीशेव असमिका सीमा देती है: P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ σ² ÷ (nε²)।

2. Continuous random variables

Normal distribution

प्रसामान्य बंटन (Normal Distribution) – प्रसामान्य बंटन एक सतत, सममित, घंटी जैसा बंटन है जो माध्य μ (केंद्र) और मानक विचलन σ (फैलाव) से तय होता है: X ~ N(μ, σ²)। माध्य = माध्यिका = बहुलक। लगभग 68% मान μ से 1σ के भीतर, 95% 2σ के भीतर और 99.7% 3σ के भीतर होते हैं। किसी भी मान को मानक स्कोर z = (x − μ)/σ में बदलते हैं, जो N(0, 1) का पालन करता है; प्रायिकता वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है, जिसे तालिका या कैलकुलेटर से Φ(z) के रूप में पढ़ते हैं।