बारंबारता से प्रायिकता मापना
सिक्के को n बार उछालो और चित की संख्या h गिनो। चित की आपेक्षिक बारंबारता f = h ÷ n है।
- छोटे n पर f खूब उछलती है। 10 में 3 चित (f = 0.3) बिल्कुल आम बात है।
- बड़े n पर f स्थिर हो जाती है और प्रायिकता p के पास रहती है।
इसलिए जब प्रायिकता का हिसाब नहीं लगा सकते (जैसे ड्रॉइंग पिन का नोक ऊपर गिरना), तो बहुत सारे प्रयास करके अनुमान लगा सकते हैं: p ≈ f। जितने ज़्यादा प्रयास, उतना अच्छा अनुमान।
बड़ी संख्याओं का नियम क्या कहता है
बर्नूली प्रमेय (बारंबारता के लिए नियम): n स्वतंत्र प्रयासों में, जहाँ हर बार सफलता की प्रायिकता p है, हर ε > 0 के लिए
n → ∞ होने पर P(|f − p| ≥ ε) → 0।
सामान्य रूप औसत के बारे में है। मान लो X₁, X₂, …, Xₙ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, सबका माध्य μ और प्रसरण σ² है। नमूना माध्य X̄ = (X₁ + … + Xₙ) ÷ n। n बढ़ने पर X̄ के μ से ε से ज़्यादा दूर होने की प्रायिकता 0 की ओर जाती है।
ध्यान दो: नियम यह नहीं कहता कि किस्मत "बराबर हो जाती है"। लगातार 5 पट के बाद भी अगली बार 50 : 50 ही है। चित और पट की गिनती का अंतर बढ़ भी सकता है; सिर्फ़ अनुपात टिकता है।
चेबीशेव (बिएनेमे–चेबीशेव) असमिका
माध्य μ और प्रसरण σ² वाले किसी भी यादृच्छिक चर X और किसी भी a > 0 के लिए:
P(|X − μ| ≥ a) ≤ σ² ÷ a²।
यह हर बंटन पर लागू होती है, इसलिए इसे सांद्रण असमिका कहते हैं: यह दिखाती है कि मान माध्य के पास इकट्ठे रहते हैं। यह अक्सर मोटी सीमा देती है, पर हमेशा सही होती है।
इसे नमूना माध्य X̄ पर लगाओ। E(X̄) = μ और V(X̄) = σ² ÷ n, तो:
P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ σ² ÷ (nε²)।
n बढ़ने पर दायाँ पक्ष 0 की ओर जाता है, और यही नियम का प्रमाण है। बारंबारता के लिए σ² = p(1 − p) ≤ 0.25, तो P(|f − p| ≥ ε) ≤ p(1 − p) ÷ (nε²) ≤ 1 ÷ (4nε²)।
नमूने का आकार चुनना और दावे की जाँच
नमूने का आकार: हम चाहते हैं कि ε से बड़ी ग़लती का जोखिम ज़्यादा से ज़्यादा α हो। σ² ÷ (nε²) ≤ α रखो, तो n ≥ σ² ÷ (αε²)। अनजान p वाले अनुपात के लिए σ² ≤ 0.25 लो: n ≥ 1 ÷ (4αε²)।
प्रतिचयन (sampling): बड़ी जनसंख्या से लिया गया यादृच्छिक नमूना बार-बार के प्रयासों जैसा ही है, इसलिए बड़ा और निष्पक्ष नमूना जनसंख्या के अनुपात के पास होता है।
सरल परिकल्पना जाँच: दावा है p = 0.5। अगर n प्रयासों में बारंबारता 0.5 से इतनी दूर है कि चेबीशेव के हिसाब से ऐसा अंतर, मान लो, 5% से कम बार होगा, तो दावे पर शक करने का ठोस कारण है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- आपेक्षिक बारंबारता f = h ÷ n
- P(|X − μ| ≥ a) ≤ σ² ÷ a² (चेबीशेव)
- E(X̄) = μ, V(X̄) = σ² ÷ n
- P(|X̄ − μ| ≥ ε) ≤ σ² ÷ (nε²)
- P(|f − p| ≥ ε) ≤ p(1 − p) ÷ (nε²) ≤ 1 ÷ (4nε²)
- नमूने का आकार: n ≥ σ² ÷ (αε²)
हल किए गए उदाहरण
1. एक ड्रॉइंग पिन 400 बार गिराई, 248 बार नोक ऊपर गिरी। नोक ऊपर की प्रायिकता का अनुमान लगाओ।
f = 248 ÷ 400 = 0.62। अनुमान: p ≈ 0.62।
2. निष्पक्ष सिक्का 1000 बार उछाला। चेबीशेव से बताओ कि चित की बारंबारता 0.5 से 0.1 या ज़्यादा दूर होने की संभावना की सीमा क्या है।
p(1 − p) = 0.25, nε² = 1000 × 0.01 = 10। सीमा = 0.25 ÷ 10 = 0.025। यानी संभावना ज़्यादा से ज़्यादा 2.5%।
3. X का माध्य 50 और प्रसरण 16 है। P(|X − 50| ≥ 10) की सीमा बताओ।
σ² ÷ a² = 16 ÷ 100 = 0.16। प्रायिकता ज़्यादा से ज़्यादा 0.16।
4. पासा 600 बार फेंका। छह की बारंबारता 1/6 से 0.05 या ज़्यादा अलग होने की सीमा बताओ।
p(1 − p) = (1/6)(5/6) = 5/36 ≈ 0.139। nε² = 600 × 0.0025 = 1.5। सीमा ≈ 0.139 ÷ 1.5 ≈ 0.093।
5. किसी सर्वे में कितने लोगों से पूछें ताकि अनुपात में 0.05 या ज़्यादा ग़लती की संभावना ज़्यादा से ज़्यादा 0.1 हो?
n ≥ 1 ÷ (4αε²) = 1 ÷ (4 × 0.1 × 0.0025) = 1 ÷ 0.001 = 1000 लोग।
6. एक सिक्के को निष्पक्ष बताया गया। 2000 उछाल में 1200 चित आए। क्या दावा भरोसे लायक़ है?
f = 0.6, यानी 0.1 का अंतर। चेबीशेव: P(|f − 0.5| ≥ 0.1) ≤ 0.25 ÷ (2000 × 0.01) = 0.0125। निष्पक्ष सिक्के में इतना अंतर ज़्यादा से ज़्यादा 1.25% बार होगा, इसलिए दावे पर शक है।
आम गलतियाँ
- जुआरी की भ्रांति: कई चित के बाद सोचना कि अब पट "आना ही है"। हर उछाल स्वतंत्र है; सिर्फ़ लंबे समय का अनुपात टिकता है।
- सोचना कि चित की संख्या n/2 के पास आ जाएगी। अनुपात h/n, 1/2 के पास आता है; अंतर h − n/2 बढ़ सकता है।
- चेबीशेव असमिका में ε (या a) का वर्ग करना भूल जाना।
- चेबीशेव की सीमा को असली प्रायिकता समझना। यह सिर्फ़ ऊपरी सीमा है; असली संभावना अक्सर बहुत कम होती है।