चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?
ब्याज किसी का पैसा इस्तेमाल करने के बदले दिया गया अतिरिक्त पैसा है। शुरुआती रकम को मूलधन (P) कहते हैं। हर साल कितने प्रतिशत ब्याज मिलेगा, वह दर (r) है (प्रति वर्ष)।
साधारण ब्याज सिर्फ़ मूलधन पर लगता है। हर साल बराबर: SI = P × r × n ÷ 100।
चक्रवृद्धि ब्याज मूलधन और पहले मिले ब्याज, दोनों पर लगता है। हर अवधि के अंत में ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है और अगला ब्याज इस बड़ी रकम पर बनता है। इसलिए पैसा तेज़ी से बढ़ता है।
उदाहरण: 1000, 10% वार्षिक। साधारण: 1100, 1200, 1300। चक्रवृद्धि: 1100, 1210, 1331।
चक्रवृद्धि ब्याज का सूत्र
हर साल रकम एक ही संख्या से गुणा होती है, जिसे गुणक (1 + r/100) कहते हैं। 10% के लिए गुणक 1.1 है। n साल बाद:
A = P(1 + r/100)ⁿ
A अंतिम मिश्रधन है। चक्रवृद्धि ब्याज CI = A − P।
साल-दर-साल तरीका
छोटे n के लिए एक-एक साल भी निकाल सकते हैं: ब्याज = रकम × r/100, फिर जोड़ दीजिए। सूत्र सारे साल एक साथ कर देता है।
P, r या n निकालना
इसी सूत्र को उलटिए। P = A ÷ (1 + r/100)ⁿ (इसे वर्तमान मूल्य कहते हैं)। r के लिए A/P का n-वाँ मूल लीजिए। n के लिए पूरे साल आज़माइए या लघुगणक लगाइए: n = log(A/P) ÷ log(1 + r/100)।
अर्धवार्षिक, तिमाही और मासिक चक्रवृद्धि
बैंक साल में एक से ज़्यादा बार भी ब्याज जोड़ते हैं। अगर साल में k बार जुड़े:
- हर अवधि की दर = r ÷ k
- कुल अवधियाँ = k × n
A = P(1 + r/(100k))^(kn)
अर्धवार्षिक: k = 2। तिमाही: k = 4। मासिक: k = 12। जितनी बार ज़्यादा ब्याज जुड़ेगा, मिश्रधन उतना बढ़ेगा, पर फ़ायदा धीरे-धीरे कम होता जाता है। 1000 पर 10%, 1 साल: वार्षिक 1100, अर्धवार्षिक 1102.50, तिमाही 1103.81, मासिक 1104.71।
प्रभावी वार्षिक दर
दो ऑफ़र की तुलना के लिए असली सालाना बढ़त निकालिए: प्रभावी दर = (1 + r/(100k))^k − 1। 12% मासिक चक्रवृद्धि = साल में एक बार 12.68% के बराबर।
सतत चक्रवृद्धि (Continuous compounding)
सोचिए, ब्याज हर सेकंड, फिर हर पल जुड़ता है। रकम अनंत नहीं होती, एक सीमा पर रुक जाती है:
A = Pe^(rt), जहाँ r दशमलव में (5% → 0.05) और t सालों में।
संख्या e ≈ 2.71828 इसी विचार से आती है: 1 रुपया 100% दर पर 1 साल सतत चक्रवृद्धि से e बन जाता है। किसी दी गई दर पर सतत चक्रवृद्धि सबसे ज़्यादा रकम देती है।
चक्रवृद्धि ब्याज = घातांकी वृद्धि (और ह्रास = क्षय)
रकमें 1000, 1100, 1210, 1331, … एक गुणोत्तर श्रेणी (GP) हैं जिसका सार्व अनुपात 1.1 है। समय के फलन के रूप में A(n) = P × 1.1ⁿ एक घातांकी फलन है। इसका ग्राफ़ ऊपर की ओर मुड़ता है, जबकि साधारण ब्याज सीधी रेखा देता है।
यही नियम हर उस चीज़ पर लगता है जो हर साल तय प्रतिशत से बढ़ती या घटती है: जनसंख्या, बैक्टीरिया, या किसी चीज़ की घटती कीमत।
ह्रास (Depreciation): कोई कार या फ़ोन हर साल r% कीमत खोता है तो n साल बाद कीमत A = P(1 − r/100)ⁿ। गुणक 1 से छोटा है।
72 का नियम
पैसा लगभग 72 ÷ r साल में दोगुना होता है। 8% पर लगभग 9 साल। यह अंदाज़ा है, बिल्कुल सही उत्तर नहीं।
करके देखिए: अपनी बचत योजना
एक रकम चुनिए, जैसे 2000। अंदाज़ा लगाइए कि 7% पर 10 साल में यह कितनी बनेगी। अंदाज़ा लिख लीजिए। अब 3D में P = 2000, r = 7, n = 10 करके जाँचिए। फिर मासिक कर दीजिए। कौन ज़्यादा असर करता है: ऊँची दर या बार-बार ब्याज जुड़ना? (संकेत: दर का असर कहीं ज़्यादा है।)
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- साधारण ब्याज: SI = P × r × n ÷ 100, मिश्रधन = P + SI
- चक्रवृद्धि मिश्रधन (वार्षिक): A = P(1 + r/100)ⁿ
- चक्रवृद्धि ब्याज: CI = A − P
- साल में k बार: A = P(1 + r/(100k))^(kn)
- सतत: A = Pe^(rt) (r दशमलव में)
- ह्रास: A = P(1 − r/100)ⁿ
- प्रभावी वार्षिक दर = (1 + r/(100k))^k − 1
- 2 साल के लिए: CI − SI = P(r/100)²
हल किए गए उदाहरण
1. 5000 पर 8% वार्षिक दर से 2 साल का मिश्रधन और चक्रवृद्धि ब्याज निकालिए (वार्षिक चक्रवृद्धि)।
गुणक = 1.08। साल 1: 5000 × 1.08 = 5400। साल 2: 5400 × 1.08 = 5832। या A = 5000 × 1.08² = 5000 × 1.1664 = 5832। CI = 5832 − 5000 = 832।
2. 2000 पर 5% वार्षिक दर से 3 साल का SI और CI निकालिए। CI कितना ज़्यादा है?
SI = 2000 × 5 × 3 ÷ 100 = 300। A = 2000 × 1.05³ = 2000 × 1.157625 = 2315.25, तो CI = 315.25। CI 15.25 ज़्यादा है, क्योंकि ब्याज पर भी ब्याज मिला।
3. 10 000 को 6% वार्षिक दर पर अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि से 3 साल के लिए जमा किया। मिश्रधन?
हर छमाही की दर = 6 ÷ 2 = 3%। अवधियाँ = 2 × 3 = 6। A = 10 000 × 1.03⁶ = 10 000 × 1.194052 = 11 940.52।
4. 800 000 की कार हर साल 15% कीमत खोती है। 3 साल बाद कीमत?
गुणक = 1 − 0.15 = 0.85। कीमत = 800 000 × 0.85³ = 800 000 × 0.614125 = 491 300।
5. 1000 वार्षिक चक्रवृद्धि से 2 साल में 1210 हो गए। दर निकालिए।
(1 + r/100)² = 1210 ÷ 1000 = 1.21। वर्गमूल: 1 + r/100 = 1.1, तो r = 10%।
6. 6% वार्षिक चक्रवृद्धि पर पैसा कितने पूरे सालों में दोगुना होगा?
हमें 1.06ⁿ ≥ 2 चाहिए। 1.06¹¹ ≈ 1.898 (अभी नहीं), 1.06¹² ≈ 2.012 (हाँ)। तो 12 साल। 72 के नियम से: 72 ÷ 6 = 12। लघुगणक से: n = log 2 ÷ log 1.06 ≈ 11.9।
7. 1000 को 5% वार्षिक दर पर सतत चक्रवृद्धि से 10 साल के लिए रखा। मिश्रधन?
A = Pe^(rt) = 1000 × e^(0.05 × 10) = 1000 × e^0.5 = 1000 × 1.648721 = 1648.72।
8. एक कार्ड 12% वार्षिक, मासिक चक्रवृद्धि लेता है। प्रभावी वार्षिक दर क्या है?
मासिक दर = 1%। प्रभावी दर = 1.01¹² − 1 = 1.126825 − 1 = 0.1268 = 12.68%।
आम गलतियाँ
- हर साल साधारण ब्याज वाला नियम लगाना, जिससे हर साल ब्याज बराबर आता है। चक्रवृद्धि में हर साल का ब्याज नई, बड़ी रकम पर बनता है।
- अर्धवार्षिक या मासिक में दर को भाग देना और समय को गुणा करना भूल जाना। 8% अर्धवार्षिक, 3 साल = 4% की 6 अवधियाँ।
- प्रश्न चक्रवृद्धि ब्याज पूछे और उत्तर में मिश्रधन A लिख देना। CI = A − P।
- ह्रास में (1 − r/100) की जगह (1 + r/100) लिख देना। कीमत घटे तो गुणक 1 से छोटा होता है।