National Year 11 Mathematics
अध्याय: 4
1. 3.3 Ratio, proportion and rates of change
Units, scales and ratio · Proportion and percentages · Rates of change
- अनुपात और समानुपात – अनुपात a : b एक ही तरह की दो मात्राओं की तुलना है। दोनों भागों को एक ही संख्या से भाग देकर अनुपात सरल करते हैं। किसी राशि को अनुपात में बाँटने के लिए भाग जोड़ो, एक भाग निकालो, फिर गुणा करो। y = k·x हो तो प्रत्यक्ष समानुपात (एक दोगुना, दूसरा दोगुना); x·y = k हो तो व्युत्क्रम समानुपात (एक दोगुना, दूसरा आधा)।
- चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) – ब्याज वह अतिरिक्त पैसा है जो किसी का पैसा इस्तेमाल करने के बदले मिलता है। साधारण ब्याज सिर्फ़ शुरुआती रकम (मूलधन) पर लगता है, इसलिए हर साल बराबर बढ़ता है। चक्रवृद्धि ब्याज मूलधन और अब तक मिले ब्याज दोनों पर लगता है, यानी ब्याज पर भी ब्याज। n साल बाद मिश्रधन A = P(1 + r/100)ⁿ। साल में k बार ब्याज जुड़े तो दर r/k और अवधियाँ k × n लें। हर पल ब्याज जुड़े तो A = Pe^(rt)। कीमत घटे (ह्रास) तो A = P(1 − r/100)ⁿ। चक्रवृद्धि वृद्धि एक घातांकी (exponential) वृद्धि है।
2. 3.4 Geometry and measures
3.4.1 Properties and constructions · 3.4.2 Mensuration and calculation · 3.4.3 Vectors
- वृत्त प्रमेय (Circle Theorems) – वृत्त प्रमेय कोणों के कुछ ऐसे नियम हैं जो हर वृत्त में हमेशा सही रहते हैं। केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है। एक ही खंड के कोण बराबर होते हैं। चक्रीय चतुर्भुज के आमने-सामने के कोणों का योग 180° होता है। स्पर्शरेखा त्रिज्या से 90° बनाती है, बाहर के एक बिंदु से खींची दो स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, और स्पर्शरेखा-जीवा का कोण एकांतर खंड के कोण के बराबर होता है।
- पाइथागोरस प्रमेय – किसी भी समकोण त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा (कर्ण) का वर्ग बाकी दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है: a² + b² = c²।
- सदिश: स्तंभ सदिश, जोड़, गुणा और प्रमाण – सदिश में आकार और दिशा दोनों होते हैं। ग्रिड पर इसे स्तंभ सदिश (ऊपर आड़ा, नीचे खड़ा) लिखते हैं। सदिश सिरे से पूँछ जोड़कर, यानी हिस्से जोड़कर, जोड़े जाते हैं; किसी संख्या से गुणा करके लंबे या उल्टे किए जाते हैं। लंबाई पाइथागोरस से निकलती है। ज्यामिति में किसी भी रास्ते को ज्ञात सदिशों के योग से लिखकर समांतरता या मध्यबिंदु सिद्ध करते हैं।
3. 3.5 Probability
Experimental and theoretical probability · Combined events
- प्रायिकता: एक घटना की संभावना – प्रायिकता बताती है कि कोई बात होने की कितनी संभावना है, 0 से 1 तक की एक संख्या में। जब सारे परिणाम समप्रायिक हों, तब P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या। असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की 1 होती है।
- संयुक्त घटनाएँ, वृक्ष आरेख और सप्रतिबंध प्रायिकता – जब दो चीज़ें होती हैं, तो हर परिणाम प्रतिदर्श समष्टि, तालिका, वेन आरेख या वृक्ष आरेख में लिखो। वृक्ष की शाखाओं पर गुणा करो (गुणन नियम) और जो रास्ते चाहिए उन्हें जोड़ो। अगर पहली घटना दूसरी को बदल दे तो घटनाएँ आश्रित हैं, जैसे बिना वापस डाले निकालना। सप्रतिबंध प्रायिकता P(A | B) वह संभावना है कि A हो, जब पता है कि B हो चुका: P(A | B) = P(A और B) ÷ P(B)।
4. 3.6 Statistics
Sampling and representing data · Analysing data
- सांख्यिकी: वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यक और बहुलक – जब आँकड़े वर्गों में बँटे हों (जैसे अंक 20–30), तो हर एक मान नहीं दिखता। माध्य के लिए हर वर्ग का बीच का मान लेते हैं, माध्यक के लिए चलता जोड़ (संचयी बारंबारता), और बहुलक के लिए सबसे ऊँचा खंभा। तीनों अलग तरीके से आँकड़ों का 'केंद्र' बताते हैं।