Ontario Grade 11 MBF3C Foundations for College Mathematics (Grade 11, College Preparation)
अध्याय: 4
1. A. Mathematical Models
1 Connecting Graphs and Equations of Quadratic Relations · 2 Connecting Graphs and Equations of Exponential Relations · 3 Solving Problems Involving Exponential Relations
- द्विघात फलन और उनके ग्राफ़ – द्विघात फलन (quadratic function) y = ax² + bx + c है, जहाँ a ≠ 0। इसका ग्राफ़ U-आकार का वक्र होता है जिसे परवलय (parabola) कहते हैं। a > 0 हो तो वक्र ऊपर खुलता है और उसका एक सबसे निचला बिंदु होता है; a < 0 हो तो नीचे खुलता है और सबसे ऊँचा बिंदु होता है। यह मोड़ बिंदु शीर्ष (vertex) है, x = −b/2a पर। शीर्ष रूप y = a(x − h)² + k में शीर्ष (h, k) है।
- घातांकी फलन (Exponential Functions) – घातांकी फलन का रूप y = a·bˣ है, जहाँ a ≠ 0 शुरुआती मान है और b > 0, b ≠ 1 वृद्धि-गुणक (आधार) है। b > 1 हो तो बढ़ता है, 0 < b < 1 हो तो घटता (क्षय) है। x में 1 बढ़ने पर y को b से गुणा किया जाता है (स्थिर अनुपात), जबकि रैखिक फलन में हर बार एक ही संख्या जुड़ती है। y = bˣ का ग्राफ (0, 1) से गुज़रता है, प्रांत सभी वास्तविक संख्याएँ, परिसर y > 0, और x-अक्ष अनंतस्पर्शी है। सामान्य रूप y = a·b^(k(x − d)) + c इसे खींचता, पलटता और खिसकाता है।
2. B. Personal Finance
1 Solving Problems Involving Compound Interest · 2 Comparing Financial Services · 3 Owning and Operating a Vehicle
- चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) – ब्याज वह अतिरिक्त पैसा है जो किसी का पैसा इस्तेमाल करने के बदले मिलता है। साधारण ब्याज सिर्फ़ शुरुआती रकम (मूलधन) पर लगता है, इसलिए हर साल बराबर बढ़ता है। चक्रवृद्धि ब्याज मूलधन और अब तक मिले ब्याज दोनों पर लगता है, यानी ब्याज पर भी ब्याज। n साल बाद मिश्रधन A = P(1 + r/100)ⁿ। साल में k बार ब्याज जुड़े तो दर r/k और अवधियाँ k × n लें। हर पल ब्याज जुड़े तो A = Pe^(rt)। कीमत घटे (ह्रास) तो A = P(1 − r/100)ⁿ। चक्रवृद्धि वृद्धि एक घातांकी (exponential) वृद्धि है।
- वित्त प्रबंधन के स्मार्ट तरीके – मुद्रास्फीति से कीमतें बढ़ती हैं, इसलिए उतना ही पैसा कम खरीदता है। बैंक में रखे पैसे पर ब्याज मिलता है: साधारण ब्याज सिर्फ़ मूलधन पर मिलता है, जबकि चक्रवृद्धि ब्याज पहले के ब्याज पर भी मिलता है, इसलिए समय के साथ तेज़ी से बढ़ता है। बजट आय को ज़रूरतों, चाहतों और बचत में बाँटता है। बचत सुरक्षित रखी जाती है; निवेश बढ़ सकता है पर उसमें जोखिम है, और ज़्यादा संभावित लाभ का मतलब ज़्यादा जोखिम। बीमा जोखिम को बहुत लोगों में बाँटता है। एक सीमा से ऊपर की आय पर आयकर लगता है, जिसकी दरें आय के साथ बढ़ती हैं।
- उपभोक्ता गणित: कमाना, ख़रीदना और यात्रा करना – उपभोक्ता गणित रोज़ के पैसों का गणित है। सकल वेतन पूरी कमाई है: घंटे की मज़दूरी (घंटे × दर), तय वेतन, कमीशन (बिक्री का %), नग के हिसाब से, टिप, बोनस और ओवरटाइम (अक्सर 1.5 × दर)। आयकर, पेंशन और बीमा जैसी कटौतियाँ कटने के बाद शुद्ध वेतन (हाथ में आने वाला) बचता है। ख़रीदते समय पहले छूट, फिर बिक्री कर (GST या VAT): दाम × (1 − d) × (1 + t)। इकाई दाम = दाम ÷ मात्रा, इससे पैकों की तुलना होती है। छुट्टा देने के लिए ऊपर गिनो। कार में ईंधन (दूरी × लीटर प्रति 100 किमी ÷ 100 × दाम), बीमा (नए चालकों के लिए ज़्यादा), लाइसेंस, क़र्ज़, मरम्मत और पार्किंग का ख़र्च है; हर यात्रा के लिए बस, ट्रेन या हवाई जहाज़ से तुलना करो।
3. C. Geometry and Trigonometry
1 Representing Two-Dimensional Shapes and Three-Dimensional Figures · 2 Applying the Sine Law and the Cosine Law in Acute Triangles
- ज्यामिति की मूल बातें: 2D आकृतियाँ, 3D ठोस, जाल और पैमाना – ज्यामिति आकार, माप और स्थिति का गणित है। 2D (समतल) आकृति में सिर्फ़ लंबाई और चौड़ाई होती है: त्रिभुज, वर्ग, षट्भुज, वृत्त। 3D (ठोस) आकृति में गहराई भी होती है: घन, प्रिज़्म, पिरामिड, बेलन। ठोस के फलक (सपाट सतह), किनारे (जहाँ दो फलक मिलते हैं) और शीर्ष (कोने) होते हैं। जाल (net) एक सपाट पैटर्न है जो मोड़ने पर ठोस बनता है। एक जैसा आकार और एक जैसा माप हो तो आकृतियाँ सर्वांगसम हैं; आकार वही पर माप अलग हो तो समरूप। टेसेलेशन में आकृतियाँ फ़र्श को बिना खाली जगह ढक देती हैं। पैमाना आरेखण असली चीज़ को एक तय गुणक से छोटा या बड़ा दिखाता है।
- ज्या नियम (Law of Sines) – किसी भी त्रिभुज में हर भुजा को उसके सामने वाले कोण के sin से भाग दो, तो एक ही संख्या मिलती है: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R। यहाँ R उस वृत्त की त्रिज्या है जो तीनों शीर्षों से होकर जाता है। जब दो कोण और एक भुजा पता हो (AAS, ASA), या दो भुजाएँ और ऐसा कोण जो उनके बीच न हो (SSA), तब यह नियम लगाओ। SSA में दो, एक या शून्य त्रिभुज बन सकते हैं।
4. D. Data Management
1 Working With One-Variable Data · 2 Applying Probability
- प्रकीर्णन की माप: परिसर, माध्य विचलन, प्रसरण और मानक विचलन – प्रकीर्णन का मतलब है फैलाव: मान बीच (केंद्र) से कितनी दूर हैं। परिसर = सबसे बड़ा − सबसे छोटा। माध्य विचलन = माध्य (या माध्यिका) से औसत दूरी। प्रसरण = माध्य से दूरियों के वर्गों का औसत। मानक विचलन = √प्रसरण। वर्गीकृत आँकड़ों में हर पद को बारंबारता f से गुणा करते हैं।
- प्रायिकता: एक घटना की संभावना – प्रायिकता बताती है कि कोई बात होने की कितनी संभावना है, 0 से 1 तक की एक संख्या में। जब सारे परिणाम समप्रायिक हों, तब P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ कुल परिणामों की संख्या। असंभव घटना की प्रायिकता 0 और निश्चित घटना की 1 होती है।