n-वाँ मूल क्या है?
मूल घात का उल्टा काम करता है। अगर b × b = a, तो b, a का वर्गमूल है। अगर b × b × b = a, तो b, a का घनमूल है।
आम तौर पर ⁿ√a वह संख्या है जिसे n बार गुणा करने पर a मिलता है। √ को करणी चिह्न (radical sign) कहते हैं, a को करणीगत संख्या (radicand) और n को क्रम (index)।
- √49 = 7, क्योंकि 7² = 49
- ∛125 = 5, क्योंकि 5³ = 125
- ⁴√81 = 3, क्योंकि 3⁴ = 81
सम और विषम क्रम
सम क्रम (2, 4, 6…) में ऋणात्मक संख्या का वास्तविक मूल नहीं होता: √(−9) वास्तविक संख्या नहीं है। √ हमेशा अऋणात्मक मूल देता है: √9 = 3, −3 नहीं।
विषम क्रम (3, 5…) में ऋणात्मक चल जाता है: ∛(−8) = −2।
याद रखो: √(x²) = |x|। जैसे √((−5)²) = 5।
करणी के नियम और सरल करना
a, b ≥ 0 के लिए:
- गुणन नियम: ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab)
- भाग नियम: ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a/b)
- घात नियम: (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)
- मूल का मूल: ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a
सरल करना
सबसे बड़ी पूर्ण घात बाहर निकालो। √72 = √(36 × 2) = 6√2। ∛54 = ∛(27 × 2) = 3∛2।
जोड़ना-घटाना
सिर्फ़ सजातीय करणी (same क्रम, same करणीगत संख्या) जुड़ती हैं: 3√2 + 5√2 = 8√2। √2 + √3 को जोड़कर एक नहीं बना सकते। पहले सरल करो: √50 + √8 = 5√2 + 2√2 = 7√2।
सावधान: √(a + b) ≠ √a + √b। जाँचो: √(9 + 16) = 5, पर 3 + 4 = 7।
हर का परिमेयीकरण
हर में मूल नहीं छोड़ते। उसे हटाने के लिए ऊपर-नीचे एक ही चीज़ से गुणा करो (यह 1 से गुणा है, मान नहीं बदलता)।
- एक मूल: 3/√5 = 3√5/5
- घनमूल: 1/∛2 = ∛4/2
- दो पद: संयुग्मी (conjugate) से गुणा करो। 1/(√3 − 1) को (√3 + 1) से: (√3 + 1)/(3 − 1) = (√3 + 1)/2। यह (a − b)(a + b) = a² − b² से होता है।
परिमेय घातांक: मूल को घात की तरह लिखना
मूल को भिन्न वाली घात से लिख सकते हैं:
a^(1/n) = ⁿ√a और a^(m/n) = (ⁿ√a)^m
उदाहरण: 32^(3/5) = (⁵√32)³ = 2³ = 8। 27^(−2/3) = 1/(∛27)² = 1/9।
घातांक के सारे नियम चलते हैं: √2 × ∛2 = 2^(1/2 + 1/3) = 2^(5/6)।
करणी फलन
y = ⁿ√x, फलन y = xⁿ का उल्टा (प्रतिलोम) है। सम n में यह सिर्फ़ x ≥ 0 पर चलता है; विषम n में हर x पर।
करके देखो: चीज़ों से मूल
36 सिक्के या बटन लो। क्या वर्ग बनता है? भुजा कितनी? अब 40 से बनाओ: 6 × 6 का वर्ग और 4 बचे, तो √40 लगभग 6.32 है। छोटे घनों (या चीनी के क्यूब) से 8, 27 और 30 आज़माओ। 3D में अपने अंदाज़े जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- ⁿ√a = a^(1/n)
- a^(m/n) = (ⁿ√a)^m
- ⁿ√a × ⁿ√b = ⁿ√(ab)
- ⁿ√a ÷ ⁿ√b = ⁿ√(a/b)
- √(x²) = |x|
- 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b)
हल किए गए उदाहरण
1. ⁴√625 निकालो।
5⁴ = 625, इसलिए ⁴√625 = 5।
2. √98 सरल करो।
98 = 49 × 2, तो √98 = 7√2।
3. ∛250 सरल करो।
250 = 125 × 2, तो ∛250 = 5∛2।
4. 2√12 + √27 सरल करो।
2√12 = 4√3, √27 = 3√3। जोड़ = 7√3।
5. 6/√3 का परिमेयीकरण करो।
6/√3 × √3/√3 = 6√3/3 = 2√3।
6. 4/(√5 + 1) का परिमेयीकरण करो।
(√5 − 1) से गुणा: 4(√5 − 1)/(5 − 1) = √5 − 1।
7. 16^(3/4) का मान?
⁴√16 = 2, फिर 2³ = 8।
8. √x × ∛x को x की एक घात में लिखो।
x^(1/2) × x^(1/3) = x^(5/6)।
आम गलतियाँ
- √(a + b) = √a + √b लिखना। मूल सिर्फ़ गुणा और भाग पर बँटता है, जोड़-घटाव पर नहीं।
- √16 = ±4 कहना। √ का मतलब अऋणात्मक मूल है, तो √16 = 4। समीकरण x² = 16 के दो हल ±4 हैं।
- असजातीय करणी जोड़ना: √2 + √3 ≠ √5।
- a^(m/n) में उलझना: नीचे वाला n मूल है, ऊपर वाला m घात।