करणी फलन क्या है?
करणी फलन (radical function) में इनपुट x रूट के चिह्न के नीचे होता है। सबसे सरल है y = √x। (कुछ किताबें इसे अपरिमेय फलन भी कहती हैं।)
हर x के लिए एक उत्तर y मिलता है। जैसे √9 = 3, √4 = 2, √1 = 1 और √0 = 0। उत्तर बढ़ते हैं, पर धीरे। x = 1 से x = 9 तक उत्तर सिर्फ़ 1 से 3 तक जाता है।
y = √x का प्रांत और परिसर
प्रांत (domain) यानी वे सभी x जो हम डाल सकते हैं। परिसर (range) यानी वे सभी y जो बाहर मिल सकते हैं।
ऋणात्मक संख्या का (वास्तविक संख्याओं में) वर्गमूल नहीं होता। इसलिए x शून्य या उससे बड़ा होना चाहिए: x ≥ 0। रूट का चिह्न हमेशा शून्य या धनात्मक संख्या देता है, इसलिए y ≥ 0।
y = √(3x − 6) जैसे फलन का प्रांत ढूँढने के लिए अंदर का हिस्सा ऋणात्मक नहीं होना चाहिए। 3x − 6 ≥ 0 से x ≥ 2।
ग्राफ आधी परवलय है
आड़ी परवलय x = y² लो। इसमें सिर्फ़ y ≥ 0 लें तो y = √x मिलता है। इसलिए y = √x का ग्राफ उस परवलय का ऊपरी आधा हिस्सा है। यह y = x² (x ≥ 0) का रेखा y = x में दर्पण-प्रतिबिंब भी है। इसी वजह से √x को x ≥ 0 पर x² का प्रतिलोम फलन कहते हैं।
परिवार y = a√(x − p) + q
हर अक्षर का एक काम है:
- a वक्र को ऊपर खींचता है (a > 1) या दबाता है (0 < a < 1)। a ऋणात्मक हो तो वक्र नीचे पलट जाता है।
- p वक्र को दाएँ (p > 0) या बाएँ (p < 0) खिसकाता है। ध्यान दो: x − 2 वक्र को दाएँ 2 इकाई ले जाता है।
- q वक्र को ऊपर (q > 0) या नीचे (q < 0) खिसकाता है।
शुरुआती बिंदु (p, q) है। प्रांत x ≥ p है। परिसर: a > 0 हो तो y ≥ q, a < 0 हो तो y ≤ q।
अगर अंदर के x पर ऋण का चिह्न हो, जैसे y = √(−x), तो वक्र दाएँ-बाएँ पलटकर बाईं ओर जाता है। तब प्रांत x ≤ 0 होता है।
प्रतिलोम और करणी समीकरण हल करना
प्रतिलोम निकालना। x और y की अदला-बदली करो, फिर y के लिए हल करो। y = √(x − 1) + 2 के लिए x = √(y − 1) + 2, फिर (x − 2)² = y − 1, यानी y = (x − 2)² + 1। हमें x ≥ 2 रखना होगा, क्योंकि मूल फलन का परिसर y ≥ 2 था।
√(x + 2) = x हल करना। दोनों ओर वर्ग करो: x + 2 = x²। तो x² − x − 2 = 0 और x = 2 या x = −1। अब पहले समीकरण में जाँचो। x = 2: √4 = 2 ठीक। x = −1: √1 = 1 पर x = −1, बराबर नहीं। तो −1 वर्ग करने से बना झूठा हल है। उत्तर सिर्फ़ x = 2। हमेशा जाँच करो!
ग्राफ पर उत्तर वहाँ है जहाँ वक्र y = √(x + 2) रेखा y = x से मिलता है।
करके देखो
पहले अनुमान, फिर जाँच। 3D में a = 1, p = 3, q = −2 रखो। देखने से पहले बोलो: शुरुआती बिंदु, प्रांत और परिसर क्या होंगे? फिर ग्राफ के नीचे की लाइन से जाँचो। घर पर: एक सिक्का हाथ से और एक कुर्सी से गिराओ, फ़ोन की घड़ी से समय नापो। कुर्सी लगभग 4 गुना ऊँची है, पर गिरने में सिर्फ़ लगभग 2 गुना समय लगता है।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- y = √x: प्रांत x ≥ 0, परिसर y ≥ 0, शुरुआती बिंदु (0, 0)
- y = a√(x − p) + q: शुरुआती बिंदु (p, q)
- प्रांत: x ≥ p। परिसर: y ≥ q (a > 0) या y ≤ q (a < 0)
- √(mx + n) का प्रांत: mx + n ≥ 0
- y = √x (x ≥ 0) का प्रतिलोम y = x² (x ≥ 0) है
हल किए गए उदाहरण
1. y = 2√x की ऊँचाई x = 0, 1, 4, 9 पर निकालो।
हर x डालो। x = 0: 2 × 0 = 0। x = 1: 2 × 1 = 2। x = 4: 2 × 2 = 4। x = 9: 2 × 3 = 6। बिंदु: (0, 0), (1, 2), (4, 4), (9, 6)।
2. y = √(x − 3) + 2 का शुरुआती बिंदु, प्रांत और परिसर बताओ।
a√(x − p) + q से मिलाओ: a = 1, p = 3, q = 2। शुरुआती बिंदु (3, 2)। प्रांत x ≥ 3। a धनात्मक है, इसलिए परिसर y ≥ 2।
3. y = −√(x + 1) + 3 का वर्णन करो।
a = −1, p = −1, q = 3। शुरुआती बिंदु (−1, 3)। प्रांत x ≥ −1। a ऋणात्मक है, इसलिए वक्र नीचे जाता है और परिसर y ≤ 3। जाँच: x = 0 पर y = −1 + 3 = 2।
4. y = √(4 − 2x) का प्रांत निकालो।
अंदर का हिस्सा 0 या अधिक होना चाहिए: 4 − 2x ≥ 0, तो 4 ≥ 2x, तो x ≤ 2। प्रांत x ≤ 2 (वक्र बाईं ओर जाता है)।
5. √(x + 2) = x हल करो।
दोनों ओर वर्ग करो: x + 2 = x²। तो x² − x − 2 = 0, यानी (x − 2)(x + 1) = 0। x = 2 या x = −1। x = 2 जाँचो: √4 = 2 ✓। x = −1 जाँचो: √1 = 1 ≠ −1 ✗। उत्तर: x = 2।
6. y = √(x − 1) + 2 का प्रतिलोम निकालो और बताओ कहाँ परिभाषित है।
अदला-बदली: x = √(y − 1) + 2। 2 घटाओ: x − 2 = √(y − 1)। वर्ग करो: (x − 2)² = y − 1। तो y = (x − 2)² + 1। मूल परिसर y ≥ 2 अब नया प्रांत है: x ≥ 2।
आम गलतियाँ
- गलत दिशा में खिसकाना: y = √(x − 2) वक्र को दाईं ओर 2 इकाई ले जाता है, बाईं ओर नहीं।
- प्रांत को सभी संख्याएँ कह देना। रूट के नीचे का हिस्सा 0 या उससे बड़ा होना चाहिए।
- वर्ग करने के बाद जाँच भूल जाना। वर्ग करने से झूठा हल आ सकता है, इसलिए हर उत्तर पहले समीकरण में डालकर देखो।
- यह सोचना कि √x के दो उत्तर (धन और ऋण) होते हैं। रूट का चिह्न सिर्फ़ धनात्मक उत्तर देता है। नीचे का हिस्सा −√x है, जो अलग ग्राफ है।