मैक्लॉरिन श्रेणी क्या है?
बहुपद (polynomial) ऐसा योग है जैसे 3 + 2x − x²। इसके साथ काम करना आसान है। बड़ा विचार यह है: कई फलनों को कभी न ख़त्म होने वाले बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है।
हमें ऐसा बहुपद चाहिए जो x = 0 पर f(x) से मेल खाए: मान बराबर, ढाल बराबर, मोड़ बराबर, और आगे भी। इससे मैक्लॉरिन श्रेणी मिलती है:
f(x) = f(0) + f′(0)x + f″(0)x²/2! + f‴(0)x³/3! + … + f⁽ʳ⁾(0)xʳ/r! + …
f⁽ʳ⁾(0)xʳ/r! को व्यापक पद (general term) कहते हैं। ! का अर्थ फ़ैक्टोरियल है: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24।
श्रेणी कैसे निकालें
- f का बार-बार अवकलन करो।
- हर अवकलज में x = 0 रखो।
- r-वें मान को r! से भाग दो और xʳ से गुणा करो।
- पैटर्न पहचानो और व्यापक पद लिखो।
उदाहरण: f(x) = eˣ। हर अवकलज eˣ ही है, और e⁰ = 1। इसलिए हर गुणांक 1/r! है, और eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …, व्यापक पद xʳ/r!।
मानक श्रेणियाँ जो याद होनी चाहिए
- eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … + xʳ/r! + …
- sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − … + (−1)ʳ x²ʳ⁺¹/(2r+1)! + …
- cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − … + (−1)ʳ x²ʳ/(2r)! + …
- ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … + (−1)ʳ⁺¹ xʳ/r + …
- (1 + x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + n(n−1)(n−2)x³/3! + …
ध्यान दो: sin x में सिर्फ़ विषम घातें हैं (यह विषम फलन है) और cos x में सिर्फ़ सम घातें। sin और cos में x हमेशा रेडियन में होना चाहिए।
पुरानी श्रेणी से नई श्रेणी
x की जगह कुछ और रखो: e^(2x) = 1 + 2x + 4x²/2! + … ; ln(1 − x) = −x − x²/2 − x³/3 − …। दो श्रेणियों का गुणा भी कर सकते हो, या श्रेणी का पद-दर-पद अवकलन/समाकलन।
कौन-सी श्रेणी कब वैध है?
किसी x के लिए श्रेणी वैध है जब पद जोड़ते जाने पर योग सही मान पर टिक जाए (श्रेणी अभिसारी हो)।
- eˣ, sin x, cos x: हर वास्तविक x के लिए।
- ln(1 + x): −1 < x ≤ 1।
- (1 + x)ⁿ: −1 < x < 1, जब n धन पूर्णांक न हो। n धन पूर्णांक हो तो श्रेणी रुक जाती है और हर x के लिए सही है।
प्रतिस्थापन के बाद परास भी बदलता है। ln(1 + 3x) तब वैध है जब −1 < 3x ≤ 1, यानी −1/3 < x ≤ 1/3। 3D के चरण 5 में हरी पट्टी ln(1+x) का वैध परास दिखाती है: उसके बाहर हर नया पद नकल को और दूर धकेलता है।
किसी भी बिंदु पर टेलर श्रेणी
मैक्लॉरिन श्रेणी x = 0 पर बनती है। टेलर श्रेणी किसी भी बिंदु x = a पर:
f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + …
जब 0 अच्छा केंद्र न हो, जैसे ln x (ln 0 परिभाषित नहीं), या जब किसी बिंदु जैसे x = 1 के पास सटीकता चाहिए, तब इसे लो। x = a + h लिखने पर: f(a + h) = f(a) + h f′(a) + h² f″(a)/2! + …।
श्रेणी से सीमा निकालना
कुछ सीमाएँ 0/0 जैसी दिखती हैं। श्रेणी इन्हें सुलझाती है। हर फलन की जगह उसके शुरू के कुछ पद रखो, काटो, फिर x → 0 करो।
उदाहरण: lim (x→0) (sin x)/x। sin x = x − x³/6 + …। तो (sin x)/x = 1 − x²/6 + … → 1।
उदाहरण: lim (x→0) (1 − cos x)/x²। 1 − cos x = x²/2 − x⁴/24 + …, इसलिए भिन्न = 1/2 − x²/24 + … → 1/2।
लोपिताल का नियम (L'Hôpital)
अगर f(a) = g(a) = 0 (या दोनों अनंत), तो lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x), यदि यह सीमा मौजूद हो। अंश और हर का अवकलन अलग-अलग करो (भागफल नियम नहीं)। कभी-कभी इसे एक से ज़्यादा बार लगाना पड़ता है।
खुद करके देखो: कुछ पदों से अनुमान
कैलकुलेटर को रेडियन मोड में रखो। 0.2 − 0.2³/6 निकालो। अब sin 0.2 दबाओ। तुलना करो। फिर x = 1 और x = 3 पर आज़माओ। पहले अनुमान लगाओ: क्या दो पद x = 3 पर भी ठीक रहेंगे? 3D फ़्री प्ले में sin x और n = 3 चुनकर जाँचो।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- मैक्लॉरिन: f(x) = Σ f⁽ʳ⁾(0) xʳ / r!
- a के परितः टेलर: f(x) = Σ f⁽ʳ⁾(a) (x − a)ʳ / r!
- eˣ = Σ xʳ/r!, सभी x
- sin x = Σ (−1)ʳ x²ʳ⁺¹/(2r+1)!, सभी x
- cos x = Σ (−1)ʳ x²ʳ/(2r)!, सभी x
- ln(1+x) = Σ (−1)ʳ⁺¹ xʳ/r, −1 < x ≤ 1
- (1+x)ⁿ = 1 + nx + n(n−1)x²/2! + …, |x| < 1
हल किए गए उदाहरण
1. e^(3x) के पहले तीन शून्येतर पद लिखो।
x की जगह 3x: 1 + 3x + (3x)²/2! = 1 + 3x + 9x²/2।
2. श्रेणी से cos 0.1 को 6 दशमलव तक निकालो।
cos 0.1 ≈ 1 − 0.01/2 + 0.0001/24 = 1 − 0.005 + 0.0000041667 = 0.995004।
3. ln(1 + 2x) की श्रेणी x³ तक लिखो और वैधता बताओ।
x की जगह 2x: 2x − (2x)²/2 + (2x)³/3 = 2x − 2x² + 8x³/3। वैध जब −1 < 2x ≤ 1, यानी −1/2 < x ≤ 1/2।
4. अवकलजों से cos x की मैक्लॉरिन श्रेणी x⁴ तक निकालो।
f = cos x → f(0) = 1; f′ = −sin x → 0; f″ = −cos x → −1; f‴ = sin x → 0; f⁗ = cos x → 1। इसलिए cos x = 1 − x²/2 + x⁴/24।
5. eˣ sin x को x³ तक फैलाओ।
(1 + x + x²/2 + x³/6)(x − x³/6)। घात ≤ 3 रखो: x + x² + x³/2 − x³/6 = x + x² + x³/3।
6. lim (x→0) (eˣ − 1 − x)/x² निकालो।
eˣ − 1 − x = x²/2 + x³/6 + …। x² से भाग: 1/2 + x/6 + … → 1/2।
7. x = 1 के परितः ln x की टेलर श्रेणी (x − 1)³ तक निकालो।
f = ln x → f(1) = 0; f′ = 1/x → 1; f″ = −1/x² → −1; f‴ = 2/x³ → 2। तो ln x ≈ (x − 1) − (x − 1)²/2 + (x − 1)³/3।
आम गलतियाँ
- sin x या cos x की श्रेणी में डिग्री लेना। श्रेणी सिर्फ़ रेडियन में काम करती है।
- वैधता परास भूलना, या प्रतिस्थापन के बाद उसे न बदलना (ln(1 + 3x) के लिए −1/3 < x ≤ 1/3)।
- फ़ैक्टोरियल भूलना: eˣ का x³ पद x³/6 है, x³/3 नहीं।
- लोपिताल नियम में भागफल नियम लगाना। अंश और हर का अवकलन अलग-अलग करो।