अनंत श्रेणी क्या है?
अनुक्रम संख्याओं की सूची है: a₁, a₂, a₃, … इन्हें जोड़ने पर श्रेणी बनती है: a₁ + a₂ + a₃ + … अगर जोड़ना कभी न रुके तो यह अनंत श्रेणी है, जिसे Σ aₙ (n = 1 से ∞) लिखते हैं।
हम हमेशा नहीं जोड़ सकते, इसलिए आंशिक योग देखते हैं:
S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃, …, Sₙ = a₁ + … + aₙ।
आंशिक योग ख़ुद एक नया अनुक्रम बनाते हैं। उसी का व्यवहार सब कुछ तय करता है।
अभिसारी और अपसारी श्रेणी
अगर n बढ़ने पर Sₙ किसी एक संख्या S के जितना चाहें उतना पास आ जाए (lim Sₙ = S), तो श्रेणी अभिसारी है और उसका योग S है।
अगर Sₙ बिना सीमा बढ़ता जाए, या बिना रुके कूदता रहे, तो श्रेणी अपसारी है। उदाहरण: 1 + 1 + 1 + … (बढ़ता है), 1 − 1 + 1 − 1 + … (1 और 0 के बीच कूदता है)।
अपसरण का nवाँ-पद परीक्षण: अगर aₙ, 0 की ओर नहीं जाता तो श्रेणी अपसारी है। पर aₙ → 0 हो तो भी कोई दूसरा परीक्षण चाहिए।
गुणोत्तर श्रेणी और उसके उपयोग
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात r एक-सा रहता है: a + ar + ar² + ar³ + …
आंशिक योग: Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r), जब r ≠ 1।
अगर |r| < 1 तो rⁿ → 0, इसलिए S = a ÷ (1 − r)। अगर |r| ≥ 1 (और a ≠ 0) तो श्रेणी अपसारी है।
उपयोग:
- आवर्ती दशमलव: 0.444… = 0.4 + 0.04 + … = 0.4 ÷ 0.9 = 4/9।
- उछलती गेंद की कुल दूरी।
- दवा: रोज़ बराबर ख़ुराक देने पर शरीर में दवा की मात्रा एक सीमा पर रुक जाती है।
- पैसा: हमेशा मिलने वाले भुगतान का आज का मूल्य।
- ज़ेनो की पहेली: छोटे होते जाते अनंत कदम सीमित समय में पूरे हो सकते हैं।
हरात्मक श्रेणी और p-श्रेणी
हरात्मक श्रेणी 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … अपसारी है। पदों को समूहों में रखिए: 1/3 + 1/4 > 1/2, फिर 1/5 + … + 1/8 > 1/2, इसी तरह आगे। हम बार-बार कम से कम 1/2 जोड़ते रहते हैं, इसलिए योग की कोई सीमा नहीं (यह ln n की तरह बहुत धीरे बढ़ता है)।
p-श्रेणी Σ 1/nᵖ है।
- p > 1: अभिसारी (जैसे Σ 1/n² = π²/6 ≈ 1.645)।
- p ≤ 1: अपसारी (p = 1 हरात्मक श्रेणी है)।
अभिसरण के परीक्षण
धनात्मक पदों वाली श्रेणियों के लिए (एकांतर परीक्षण को छोड़कर):
- समाकल परीक्षण: अगर f(n) = aₙ और f धनात्मक, संतत और घटता हुआ है, तो Σ aₙ और ∫₁^∞ f(x) dx दोनों साथ अभिसारी या साथ अपसारी होते हैं।
- सीधी तुलना: अगर 0 ≤ aₙ ≤ bₙ और Σ bₙ अभिसारी है, तो Σ aₙ भी। अगर aₙ ≥ bₙ ≥ 0 और Σ bₙ अपसारी है, तो Σ aₙ भी।
- सीमा तुलना: अगर aₙ/bₙ किसी धनात्मक सीमित संख्या की ओर जाए, तो दोनों श्रेणियाँ एक जैसा व्यवहार करती हैं।
- अनुपात परीक्षण: L = lim |aₙ₊₁ / aₙ|। L < 1 अभिसारी (निरपेक्षतः), L > 1 अपसारी, L = 1 कुछ नहीं बताता।
- एकांतर श्रेणी परीक्षण: Σ (−1)ⁿ⁺¹ bₙ, जहाँ bₙ धनात्मक, घटता हुआ और → 0, अभिसारी है। n पदों के बाद त्रुटि अधिकतम अगला पद bₙ₊₁ है।
निरपेक्ष और सशर्त अभिसरण: अगर Σ |aₙ| अभिसारी है तो श्रेणी निरपेक्षतः अभिसारी है। अगर Σ aₙ अभिसारी पर Σ |aₙ| नहीं, तो सशर्त अभिसारी। उदाहरण: 1 − 1/2 + 1/3 − … (योग ln 2) सशर्त अभिसारी है।
आगे की झलक: घात श्रेणी और टेलर श्रेणी
घात श्रेणी Σ cₙ(x − a)ⁿ ऐसी अनंत श्रेणी है जिसमें x हो। अनुपात परीक्षण इसकी अभिसरण त्रिज्या R देता है: |x − a| < R के लिए अभिसारी; सिरों को अलग से जाँचते हैं।
उदाहरण: 1 + x + x² + … = 1/(1 − x), जब |x| < 1 (r = x वाली गुणोत्तर श्रेणी)।
टेलर श्रेणी किसी फलन को घात श्रेणी में लिखती है: f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ / n!। a = 0 पर यह मैक्लॉरिन श्रेणी है, जैसे eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … कुछ पदों पर रुकने से टेलर बहुपद मिलता है; लग्रांज त्रुटि सीमा बताती है कि वह कितना ग़लत हो सकता है।
करके देखिए: काग़ज़ की पट्टी फाड़िए
20 cm लंबी काग़ज़ की पट्टी लीजिए। आधी (10 cm) फाड़कर मेज़ पर रखिए। बची हुई का आधा (5 cm) फाड़कर पहले के बगल में रखिए। ऐसे ही करते जाइए। मेज़ पर आपकी लाइन 20 cm की ओर बढ़ती है पर उससे आगे नहीं जाती। यही 10 + 5 + 2.5 + … = 10 ÷ (1 − 1/2) = 20 है। फिर आख़िरी 3D चरण में a और r स्लाइडर से अंदाज़ा लगाकर जाँचिए।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ; अगर lim Sₙ = S हो तो श्रेणी अभिसारी
- गुणोत्तर: Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r); S∞ = a/(1 − r), जब |r| < 1
- nवाँ-पद परीक्षण: aₙ ↛ 0 ⇒ अपसारी
- p-श्रेणी Σ 1/nᵖ: p > 1 पर अभिसारी, p ≤ 1 पर अपसारी
- अनुपात परीक्षण: L = lim |aₙ₊₁/aₙ|; L < 1 अभिसारी, L > 1 अपसारी, L = 1 अनिर्णीत
- एकांतर श्रेणी: |S − Sₙ| ≤ bₙ₊₁
हल किए गए उदाहरण
1. 6 + 3 + 1.5 + 0.75 + … का योग ज्ञात कीजिए।
a = 6, r = 3/6 = 0.5। |r| < 1, इसलिए S = a/(1 − r) = 6/0.5 = 12।
2. 0.272727… को भिन्न में लिखिए।
0.27 + 0.0027 + … में a = 0.27, r = 0.01। S = 0.27/0.99 = 27/99 = 3/11।
3. क्या Σ n/(n + 1) अभिसारी है?
aₙ = n/(n + 1) → 1, 0 नहीं। nवें-पद परीक्षण से श्रेणी अपसारी है।
4. 2 m से गिराई गेंद हर उछाल में पिछली ऊँचाई की आधी ऊपर जाती है। कुल दूरी?
नीचे 2 m, फिर ऊपर-नीचे 1 m, 0.5 m, … कुल = 2 + 2(1 + 0.5 + 0.25 + …) = 2 + 2 × 1/(1 − 0.5) = 2 + 4 = 6 m।
5. क्या Σ 1/(n² + 3) अभिसारी है?
0 < 1/(n² + 3) < 1/n²। Σ 1/n² में p = 2 > 1, इसलिए अभिसारी। सीधी तुलना से Σ 1/(n² + 3) भी अभिसारी है।
6. Σ 3ⁿ/n! पर अनुपात परीक्षण लगाइए।
aₙ₊₁/aₙ = 3ⁿ⁺¹/(n + 1)! × n!/3ⁿ = 3/(n + 1) → 0। L = 0 < 1, इसलिए श्रेणी (निरपेक्षतः) अभिसारी है।
7. 1 − 1/√2 + 1/√3 − 1/√4 + … निरपेक्षतः, सशर्त या बिल्कुल नहीं अभिसारी?
bₙ = 1/√n धनात्मक, घटता हुआ और → 0, इसलिए एकांतर श्रेणी अभिसारी है। पर Σ 1/√n में p = 1/2 ≤ 1, जो अपसारी है। इसलिए सशर्त अभिसारी।
8. x के किन मानों पर Σ (x/3)ⁿ अभिसारी है, और योग क्या है?
r = x/3 वाली गुणोत्तर श्रेणी। |x/3| < 1 यानी −3 < x < 3 पर अभिसारी। योग = 1/(1 − x/3) = 3/(3 − x) (n = 0 से शुरू)।
आम गलतियाँ
- मानना कि aₙ → 0 से अभिसरण सिद्ध होता है। यह सिर्फ़ ज़रूरी शर्त है; हरात्मक श्रेणी में aₙ → 0 है फिर भी वह अपसारी है।
- |r| ≥ 1 पर भी a/(1 − r) लगा देना। सूत्र केवल −1 < r < 1 पर काम करता है।
- अनुक्रम और श्रेणी को मिला देना: aₙ → 0 पदों की बात है; श्रेणी का अभिसरण आंशिक योग Sₙ की बात है।
- L = 1 आने पर अनुपात परीक्षण से अपसारी कह देना। L = 1 कोई उत्तर नहीं देता; दूसरा परीक्षण लगाइए।