अनुक्रम की सीमा: पद आख़िर कहाँ जाते हैं?

अनुक्रम की सीमा क्या है?

अनुक्रम (sequence) क्रम से लिखी संख्याओं की सूची है: a₁, a₂, a₃, … छोटा n उस पद की स्थिति बताता है। जैसे aₙ = 1/n से मिलता है 1, ½, ⅓, ¼, …

हम एक ही सवाल पूछते हैं: जब n बहुत-बहुत बड़ा हो जाए, तो पद कहाँ जाते हैं? अगर वे किसी एक तय संख्या L के पास आते जाएँ, तो L उसकी सीमा (limit) है। लिखते हैं

lim (n→∞) aₙ = L या aₙ → L।

चिह्न ∞ (अनंत) कोई संख्या नहीं है। यह सिर्फ़ कहता है "n बढ़ता ही जा रहा है"।

अभिसारी और अपसारी अनुक्रम

जिस अनुक्रम की सीमा होती है वह अभिसारी (convergent) है। जिसकी सीमा नहीं होती वह अपसारी (divergent) है।

• अभिसारी: 1/n → 0, और (2n+1)/n → 2।
• अनंत की ओर अपसारी: aₙ = n बिना रुके बढ़ता है। लिखते हैं aₙ → ∞।
• कूदकर अपसारी (दोलन): (−1)ⁿ हमेशा −1 और 1 के बीच कूदता है।

ठीक विचार (ε पट्टी)। कोई भी बहुत छोटी चौड़ाई ε लीजिए (जैसे 0.01)। L − ε से L + ε तक पट्टी खींचिए। अगर किसी पद के बाद सारे पद पट्टी में रहें, और ऐसा हर ε के लिए हो, तो aₙ → L। पतली पट्टी का मतलब बस इतना है कि ज़्यादा इंतज़ार करना पड़ेगा।

अभिसारी अनुक्रम की सीमा एक ही होती है।

सीमा के नियम

मान लीजिए aₙ → A और bₙ → B (दोनों वास्तविक संख्याएँ)। तब:

• जोड़: aₙ + bₙ → A + B
• घटाव: aₙ − bₙ → A − B
• अचर गुणज: c·aₙ → c·A
• गुणनफल: aₙ·bₙ → A·B
• भागफल: aₙ / bₙ → A / B, केवल जब B ≠ 0

भिन्न के लिए तरकीब। जब ऊपर और नीचे दोनों बहुत बड़े हो जाएँ, तो दोनों को n की सबसे बड़ी घात से भाग दें। तब 1/n, 1/n² जैसे टुकड़े 0 हो जाते हैं और उत्तर दिख जाता है।

उदाहरण: (3n² + n) / (n² + 4)। n² से भाग: (3 + 1/n) / (1 + 4/n²) → 3/1 = 3।

बहुपद/बहुपद का मोटा नियम: ऊपर-नीचे की घात बराबर हो तो सबसे बड़ी घात के गुणांकों का अनुपात; ऊपर की घात कम हो तो 0; ऊपर की घात ज़्यादा हो तो ±∞ की ओर अपसारी।

गुणोत्तर अनुक्रम rⁿ की सीमा

गुणोत्तर अनुक्रम (geometric sequence) में हर बार उसी संख्या r से गुणा होता है: r, r², r³, … तो rⁿ का क्या होगा?

• −1 < r < 1 (जैसे ½ या −0.3): पद घटकर 0 हो जाते हैं।
• r = 1: सारे पद 1 हैं, इसलिए सीमा 1 है।
• r > 1: पद बिना रुके बढ़ते हैं; ∞ की ओर अपसारी।
• r = −1: पद −1 और 1 के बीच कूदते हैं; अपसारी।
• r < −1: आकार बढ़ता है और चिह्न बदलता रहता है; अपसारी।

इसलिए rⁿ ठीक तब अभिसारी है जब −1 < r ≤ 1। मिश्रित रूप में, जैसे (3ⁿ + 2ⁿ) / 3ⁿ, 3ⁿ से भाग दें: 1 + (2/3)ⁿ → 1 + 0 = 1।

खुद करके देखें

3D में: बटन aₙ = rⁿ दबाएँ और r खिसकाएँ। पहले अंदाज़ा लगाएँ: r = 0.9 पर डंडे क्या करेंगे? r = −0.5 पर? r = 1.2 पर? फिर जाँचें। इसके बाद हरी पट्टी देखें और ε छोटा करें। देखें कि कौन-से n के बाद सारे डंडे अंदर आते हैं।

घर पर: कैलकुलेटर लें। 1 लिखें, फिर बार-बार "× 0.5" (या ÷ 2) दबाएँ। 10 उत्तर लिखें। वे कहाँ जा रहे हैं? अब "× 2" से यही करें। तुलना करें।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• aₙ → L का मतलब: हर ε > 0 के लिए किसी n के बाद सारे पद L − ε और L + ε के बीच हैं
• lim (aₙ ± bₙ) = A ± B; lim (c·aₙ) = c·A; lim (aₙ·bₙ) = A·B; lim (aₙ/bₙ) = A/B (B ≠ 0)
• lim 1/n = 0, lim 1/nᵏ = 0 (k > 0), lim c = c
• lim rⁿ = 0 यदि |r| < 1; = 1 यदि r = 1; अपसारी यदि r > 1 या r ≤ −1
• n के भिन्न: ऊपर-नीचे को n की सबसे बड़ी घात से भाग दें

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• "पद कभी 0 नहीं होते, इसलिए 1/n की सीमा नहीं है" कहना। सीमा वह है जिधर पद जाते हैं, कोई पद नहीं।
• ∞ को साधारण संख्या मानना, जैसे ∞ − ∞ = 0। पहले व्यंजक को बदलें (सबसे बड़ी घात से भाग दें)।
• सोचना कि परिबद्ध (bounded) अनुक्रम अभिसारी होता ही है। (−1)ⁿ −1 और 1 के बीच रहता है, फिर भी उसकी सीमा नहीं।
• नीचे की सीमा 0 हो तब भी भागफल का नियम लगाना। तब नियम लागू नहीं होता; पहले सरल करें।