पुनरावृत्ति संबंध क्या है?
अनुक्रम संख्याओं की क्रमवार सूची है: u₀, u₁, u₂ … पुनरावृत्ति संबंध (रिकर्सिव सूत्र) बताता है कि पिछले पदों से अगला पद कैसे बने।
उदाहरण: u(n+1) = u(n) + 3, u(0) = 2। तो u₁ = 5, u₂ = 8, u₃ = 11।
दो चीज़ें ज़रूरी: नियम और पहला पद। नियम वही, शुरुआत अलग = अनुक्रम अलग।
रिकर्सिव बनाम स्पष्ट (explicit) सूत्र
रिकर्सिव सूत्र में पिछला पद चाहिए। स्पष्ट सूत्र सीधे n से कोई भी पद देता है। ऊपर वाले के लिए u(n) = 2 + 3n। u(100) निकालना हो तो स्पष्ट सूत्र बहुत तेज़ है।
समांतर और गुणोत्तर पुनरावृत्ति
हर बार d जोड़ो: u(n+1) = u(n) + d → समांतर, u(n) = u(0) + n·d।
हर बार r से गुणा: u(n+1) = r·u(n) → गुणोत्तर, u(n) = u(0)·rⁿ।
r > 1 हो तो पद बढ़ते हैं; 0 < r < 1 हो तो 0 की ओर घटते हैं; r ऋणात्मक हो तो चिह्न हर बार बदलता है।
प्रथम कोटि रैखिक पुनरावृत्ति: u(n+1) = a·u(n) + b
यह नियम गुणा और जोड़ दोनों करता है। बचत, खून में दवा, तालाब की मछलियाँ: ऐसे कदम-दर-कदम मॉडल को असतत गतिक तंत्र (discrete dynamical system) कहते हैं।
स्थिर बिंदु (संतुलन)
स्थिर बिंदु L नहीं बदलता: L = a·L + b, इसलिए L = b ÷ (1 − a) (a ≠ 1)।
- −1 < a < 1: पद L की ओर जाते हैं (स्थिर)।
- a > 1 या a < −1: पद L से दूर भागते हैं (अस्थिर)।
- a ऋणात्मक: पद L के ऊपर-नीचे झूलते हैं।
स्पष्ट सूत्र
u(n) = L + (u(0) − L)·aⁿ। L से दूरी हर कदम a से गुणा होती है।
मकड़जाल (cobweb) आरेख
y = a·x + b और y = x खींचो। u(0) से रेखा तक ऊपर, फिर y = x तक बगल में, बार-बार। रास्ता दोनों रेखाओं के कटान बिंदु (स्थिर बिंदु) की ओर जाता है।
द्वितीय कोटि पुनरावृत्ति और फिबोनाची
द्वितीय कोटि नियम दो पिछले पद लेता है, इसलिए दो शुरुआती पद चाहिए। फिबोनाची: F(n+2) = F(n+1) + F(n), F(0) = F(1) = 1 → 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …
पड़ोसी पदों का अनुपात स्वर्ण अनुपात ≈ 1.618 के पास जाता है। योग भी रिकर्सिव लिखा जा सकता है: S(n) = S(n−1) + u(n)।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- u(n+1) = u(n) + d → u(n) = u(0) + n·d
- u(n+1) = r·u(n) → u(n) = u(0)·rⁿ
- u(n+1) = a·u(n) + b, fixed point L = b ÷ (1 − a)
- u(n) = L + (u(0) − L)·aⁿ
- F(n+2) = F(n+1) + F(n)
हल किए गए उदाहरण
1. u(n+1) = u(n) + 4, u(0) = 3। u₁ से u₄ निकालो।
u₁ = 7, u₂ = 11, u₃ = 15, u₄ = 19।
2. u(n+1) = 3·u(n), u(0) = 2। u₄ और स्पष्ट सूत्र निकालो।
u₁ = 6, u₂ = 18, u₃ = 54, u₄ = 162। स्पष्ट: u(n) = 2·3ⁿ; जाँच 2·81 = 162।
3. 50, 45, 40, 35 … का रिकर्सिव सूत्र लिखो।
हर पद 5 कम: u(n+1) = u(n) − 5, u(0) = 50।
4. u(n+1) = 0.5·u(n) + 10, u(0) = 2। u₁, u₂, u₃ और स्थिर बिंदु निकालो।
u₁ = 11, u₂ = 15.5, u₃ = 17.75। L = 10 ÷ 0.5 = 20। पद 20 की ओर जाते हैं।
5. तालाब में 1,000 मछलियाँ हैं। हर साल 20% मरती हैं और 150 डाली जाती हैं। नियम और लंबे समय की संख्या बताओ।
u(n+1) = 0.8·u(n) + 150, u(0) = 1000। L = 150 ÷ 0.2 = 750। u₁ = 950, u₂ = 910 … 750 की ओर।
6. उसी नियम से स्पष्ट सूत्र द्वारा u(10) निकालो।
u(n) = 750 + 250·0.8ⁿ। 0.8¹⁰ ≈ 0.107, तो u(10) ≈ 777 मछलियाँ।
7. फिबोनाची 1, 1 से शुरू। F(9) (10वाँ पद) निकालो।
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55। F(9) = 55।
आम गलतियाँ
- पहला पद भूल जाना: अकेला नियम अनुक्रम तय नहीं करता।
- u(n) और u(n+1) में गड़बड़: दाईं ओर वह पद होता है जो पहले से पता है।
- a = 1 पर L = b ÷ (1 − a) लगाना: तब स्थिर बिंदु नहीं होता (अनुक्रम समांतर है)।
- सोचना कि हर अनुक्रम स्थिर बिंदु पर पहुँचेगा: |a| > 1 हो तो वह दूर भागता है।