सिग्मा संकेतन (∑)

सिग्मा संकेतन क्या है?

लंबे योग लिखना थका देता है। सिग्मा संकेतन उन्हें छोटा लिखने का तरीका है।

∑_k=1ⁿ a_k = a₁ + a₂ + ... + a_n

इसे ऐसे पढ़ो:

• ∑ (सिग्मा) का मतलब है "जोड़ो"।
• k सूचकांक (index) है। यह एक गिनती करने वाला अक्षर है। यह 1, 2, 3 ... एक-एक करके लेता है।
• ∑ के नीचे की संख्या बताती है कि k कहाँ से शुरू होगा। ऊपर की संख्या बताती है कि कहाँ रुकेगा।
• दाईं ओर का नियम a_k बताता है कि हर k के लिए क्या जोड़ना है।

उदाहरण: ∑_k=1⁴ (2k + 1) = 3 + 5 + 7 + 9 = 24।

सूचकांक का अक्षर कुछ नहीं बदलता। ∑ k और ∑ j का उत्तर एक ही होता है। पदों की संख्या = (अंत − शुरू + 1)।

सिग्मा के गुण (नियम)

ये चार नियम काम बहुत आसान कर देते हैं।

1. अचर बाहर: ∑ c·a_k = c · ∑ a_k। जो संख्या k के साथ नहीं बदलती, उसे बाहर निकाल सकते हैं।
2. योग तोड़ना: ∑ (a_k + b_k) = ∑ a_k + ∑ b_k। घटाने पर भी यही चलता है।
3. अचर को n बार जोड़ना: ∑_k=1ⁿ c = n·c। (हर पद c है और ऐसे n पद हैं।)
4. शुरुआत बदलना: ∑_k=mⁿ a_k = ∑_k=1ⁿ a_k − ∑_k=1^m−1 a_k।

सावधान: ∑ a_kb_k बराबर नहीं है (∑ a_k)(∑ b_k) के, और ∑ a_k² बराबर नहीं है (∑ a_k)² के।

k, k² और k³ के योग: तैयार सूत्र

तीन योग बार-बार आते हैं। इन्हें एक बार याद कर लो।

• ∑_k=1ⁿ k = n(n+1)/2
• ∑_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6
• ∑_k=1ⁿ k³ = [n(n+1)/2]²

पहला सूत्र क्यों सही है (3D, चरण 5): सीढ़ी 1, 2, ..., n बनाओ। इसकी एक उलटी नकल पास में रखो। अब हर खंभे की ऊँचाई n + 1 है और n खंभे हैं। दो सीढ़ियों में कुल n(n+1) हैं। एक सीढ़ी में इसका आधा।

देखो, ∑k³ असल में ∑k का वर्ग है। इन तीन सूत्रों और ऊपर के नियमों से k के किसी भी बहुपद का योग निकल सकता है। जैसे ∑(3k² − 2k + 5) = 3∑k² − 2∑k + 5n।

अलग-अलग अनुक्रमों के योग और टेलिस्कोपिक योग

कुछ योग बहुपद नहीं होते। एक आम तरकीब है टेलिस्कोपिक योग: हर पद को अंतर के रूप में लिखो, ताकि बीच के ज़्यादातर पद कट जाएँ, जैसे दूरबीन की नलियाँ अंदर घुस जाती हैं।

1/(k(k+1)) लो। इसे तोड़ा जा सकता है: 1/(k(k+1)) = 1/k − 1/(k+1)। इसलिए

∑_k=1ⁿ 1/(k(k+1)) = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ... + (1/n − 1/(n+1)) = 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)।

सिर्फ पहला और आखिरी टुकड़ा बचता है। 3D के खुले खेल में चौथा बटन दबाओ और देखो कि खंभे छोटे होते जाते हैं और योग 1 के पास पहुँचता है।

और भी काम के योग: समांतर श्रेणी का योग n/2 × (पहला + आखिरी); गुणोत्तर श्रेणी (अनुपात r) का योग a(rⁿ − 1)/(r − 1)। 1·2 + 2·3 + 3·4 + ... जैसे योग ∑ k(k+1) लिखे जाते हैं और ∑k² + ∑k में तोड़कर हल होते हैं।

खुद करके देखो: योग बनाओ

घर पर करो: 10 सिक्के लो। सीढ़ी बनाओ: पहले 1 सिक्का, फिर 2, फिर 3, फिर 4। कुल कितने सिक्के? अब उलटी सीढ़ी बनाकर जोड़ दो। आयत गिनो: 4 × 5 = 20, तो एक सीढ़ी में 10। यही n = 4 के लिए ∑k है।

3D में करो: स्लाइडर चलाने से पहले, n = 8 का योग सूत्र से अंदाज़ा लगाओ। फिर रीडआउट में जाँचो।

मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ

• ∑(k=1..n) a_k = a_1 + a_2 + ... + a_n
• ∑ c·a_k = c·∑ a_k; ∑ (a_k ± b_k) = ∑ a_k ± ∑ b_k
• ∑(k=1..n) c = n·c
• ∑(k=1..n) k = n(n+1)/2
• ∑(k=1..n) k² = n(n+1)(2n+1)/6
• ∑(k=1..n) k³ = [n(n+1)/2]²
• टेलिस्कोपिक: ∑(k=1..n) 1/(k(k+1)) = 1 − 1/(n+1)

हल किए गए उदाहरण

आम गलतियाँ

• पदों की गिनती भूल जाना: k = 3 से 9 तक 9 − 3 + 1 = 7 पद होते हैं, 6 नहीं।
• ∑ c को c लिख देना। सही है n·c, क्योंकि अचर n बार जुड़ता है।
• ∑ a_k² को (∑ a_k)² मान लेना। जाँचो: 1² + 2² = 5, पर (1 + 2)² = 9।
• जब योग 1 से शुरू न हो तब भी n(n+1)/2 लगा देना। पहले आगे का छूटा हिस्सा घटाओ।