बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याएँ
हमारी संख्या पद्धति 10 पर आधारित है। हर स्थान अपने दाएँ वाले स्थान का 10 गुना है।
- 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³
- दस लाख (1 000 000) = 10⁶
- 0.001 = 1 ÷ 1000 = 10⁻³
ऋणात्मक घात संख्या को ऋणात्मक नहीं बनाती। इसका मतलब है "उतनी बार 10 से भाग दो"। तो 10⁻² = 0.01, एक छोटी धनात्मक संख्या।
वैज्ञानिक संकेतन (Scientific notation)
संख्या को a × 10ⁿ के रूप में लिखें, जहाँ a, 1 या उससे बड़ा और 10 से छोटा हो। दशमलव बिंदु को तब तक खिसकाएँ जब तक उसके बाएँ एक ही अशून्य अंक बचे, और कूद गिनें।
- 58 000 000 = 5.8 × 10⁷ (बिंदु 7 स्थान बाएँ)
- 0.000 72 = 7.2 × 10⁻⁴ (बिंदु 4 स्थान दाएँ)
वास्तविक संख्याओं को क्रम में लगाना
वास्तविक संख्याएँ वे सब संख्याएँ हैं जिनकी संख्या रेखा पर जगह है:
- प्राकृत और पूर्ण संख्याएँ: 0, 1, 2, 3…
- पूर्णांक: …, −2, −1, 0, 1, 2…
- परिमेय संख्याएँ: p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं, जैसे −½, 0.3, 5/3
- अपरिमेय संख्याएँ: भिन्न के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं; दशमलव न रुकता है न दोहराता है, जैसे √2 ≈ 1.414, π ≈ 3.14159
क्रम में लगाने के लिए सबको दशमलव में बदलें और तुलना करें। रेखा पर छोटी संख्या हमेशा बाएँ होती है। ऋणात्मक में, जो शून्य से जितनी दूर, वह उतनी छोटी: −5 < −2।
वर्गमूल का अनुमान और गणना
n का वर्गमूल वह संख्या है जिसे खुद से गुणा करने पर n मिले। √49 = 7, क्योंकि 7 × 7 = 49। 1, 4, 9, 16, 25… पूर्ण वर्ग हैं।
बाकी संख्याओं के लिए अनुमान लगाएँ:
- ठीक नीचे और ठीक ऊपर के पूर्ण वर्ग ढूँढें: 49 < 50 < 64।
- तो 7 < √50 < 8।
- 50, 49 के बहुत पास है, इसलिए √50 बस 7 से थोड़ा ऊपर है। 7.1² = 50.41। तो √50 ≈ 7.1।
50 m² क्षेत्रफल वाले वर्गाकार बगीचे की भुजा लगभग 7.1 m होगी।
भिन्न, दशमलव और प्रतिशत
एक ही मात्रा, लिखने के तीन तरीके:
- ¾ = 3 ÷ 4 = 0.75 = 75%
- ⅕ = 0.2 = 20%
- ⅓ = 0.333… (3 दोहराता है) ≈ 33.3%
भिन्न को दशमलव बनाने के लिए अंश को हर से भाग दें। दशमलव को प्रतिशत बनाने के लिए 100 से गुणा करें। ⅗ और 0.62 की तुलना: 0.60 < 0.62।
खुद करके देखें
1 लीटर की बोतल को एक चौथाई भरें। इस मात्रा को भिन्न, दशमलव (लीटर में) और प्रतिशत में लिखें। फिर 3D में स्लाइडर से अपनी उम्र का वर्गमूल देखें।
मुख्य सूत्र और परिभाषाएँ
- 10ⁿ = 1 के बाद n शून्य
- 10⁻ⁿ = 1 ÷ 10ⁿ
- वैज्ञानिक संकेतन: a × 10ⁿ, 1 ≤ a < 10
- यदि a² < n < b² तो a < √n < b
- भिन्न → दशमलव: अंश ÷ हर; दशमलव → प्रतिशत: × 100
हल किए गए उदाहरण
1. 4 600 000 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
पहले अंक के बाद बिंदु लगाएँ: 4.6। बिंदु 6 स्थान बाएँ गया, तो 4 600 000 = 4.6 × 10⁶।
2. 0.000 035 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।
बिंदु को 3 के बाद तक दाएँ ले जाएँ: 3.5। यह 5 स्थान दाएँ गया, तो घात −5: 3.5 × 10⁻⁵।
3. 2.07 × 10⁴ को साधारण संख्या में लिखिए।
बिंदु 4 स्थान दाएँ: 2.07 → 20 700।
4. छोटे से बड़े क्रम में लिखिए: 1.5, √3, 7/4, −2, −2.5।
दशमलव: 1.5, √3 ≈ 1.732, 7/4 = 1.75, −2, −2.5। क्रम: −2.5, −2, 1.5, √3, 7/4।
5. √90 का एक दशमलव स्थान तक अनुमान लगाइए।
81 < 90 < 100, तो 9 < √90 < 10। 9.5² = 90.25 (थोड़ा ज़्यादा), 9.4² = 88.36 (कम)। तो √90 ≈ 9.5 (कैलकुलेटर: 9.487)।
6. एक वर्गाकार फ़र्श का क्षेत्रफल 200 m² है। भुजा लगभग कितनी है?
196 = 14², 225 = 15², तो भुजा 14 m से थोड़ी ज़्यादा। 14.1² = 198.81, 14.2² = 201.64। भुजा ≈ 14.1 m।
आम गलतियाँ
- 10⁻³ को ऋणात्मक संख्या समझना। यह 0.001 है, एक छोटी धनात्मक संख्या।
- 38 × 10⁵ को वैज्ञानिक संकेतन मानना। पहला भाग 1 से 10 के बीच होना चाहिए: 3.8 × 10⁶।
- −7 को −3 से बड़ा कहना क्योंकि 7 > 3। रेखा पर −7 ज़्यादा बाएँ है, तो −7 < −3।
- वर्गमूल की जगह आधा करना: √64 = 8, 32 नहीं।